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4.1条件概率与事件的独立性（新课）
知识梳理
条件概率
1.条件概率的定义：对于任何两事件在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫条件概率，用符号来表示，其公式为．
2.条件概率的性质：
①.
②如果B和C是两个互斥事件，则
乘法公式与全概率公式
1. 乘法公式：有条件概率公式可得，；
这就是说时间A发生的概率以及在时间A发生的前提下时间B发生的概率，可以求时间AB同时发生的概率，这个结论即为乘法公式。
2.全概率公式：若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立：
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).
此公式即为全概率公式。
独立性与条件概率的关系
如果,那么一定有.所以当时，A与B独立的充要条件是。
当时，时间A的发生会影响时间B发生的概率，此时时间A与时间B不是独立的，事实上，“A与B独立”也被说成“A与B互不影响”等。
典例解析
考点一：条件概率
例1．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）
A． B． C． D．
变式1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则当甲市为雨天时，乙市为雨天的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.66
例2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则（ ）．
A． B． C． D．
例3．一个盒子装有质地、大小、形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中任取两个球，记事件：“取出的两个球颜色不同”，事件：“取出一个红球，一个黄球”，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
考点二：独立事件的乘法概率
例4．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）
A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
变式1．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．五一节放假期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率（ ）
A． B． C． D．
例5．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
变式1．一个学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中取得优秀的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
（1）三科成绩均未取得优秀的概率是多少？
（2）恰有一科成绩取得优秀的概率是多少？
变式2．甲与乙两名羽毛球选手进行单打比赛，采用三局两胜制．已知甲每局赢乙的概率为0.6，每局的输赢相互独立．
（1）求甲、乙打了两局就定输赢的概率；
（2）求乙赢了一局但最终未获胜的概率．
巩固练习
1．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．从0，1，2，3，4中任取2个不同的数，则在“取到的2个数之和为偶数”的前提下“取到的2个数均为奇数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（ ）
A． B． C． D．
4．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ）
A． B． C． D．
5．某次射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是,连续两次均击中10环的概率是,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件为“两个点数不同”，事件为“两个点数中最大点数为4”，则（ ）
A． B． C． D．
8．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为
A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16
9．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ）
A．0.444 B．0.008 C．0.7 D．0.233
10．如图，、、表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9、0.8、0.7，如果系统中至少有1个开关正常工作，那么系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是（ ）
A．0.994 B．0．504 C．0.496 D．0.06
11．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为、，则密码被译出概率为（　　）
A． B． C． D．
12．甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为，，则恰有一人答对的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.8，则连续两天为优良的概率是（ ）
A．0.6 B．0.75 C．0.8 D．0.45
14．已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是，则这种产品的一级品率为（ ）
A． B． C． D．
15．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别为，，，现3人各投篮1次，求：
（Ⅰ）3人都投进的概率；
（Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率．
16．某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的，试求：
（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；
（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率.
4.1 条件概率答案
例1．B
变式1．C
变式2．A
例2．C
变式1．B
变式2．B
例3．C
变式1．A
变式2．D
例4．B
变式1．B
变式2．B
例5．（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.
变式1．（1）；（2）.
变式2．（1）0.52；（2）0.288.
巩固练习
1．D
2．A
3．A
4．B
5．B
6．B
7．C
8．B
9．A
10．A
11．B
12．B
13．A
14．B
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
16．（1）；（2）.
1

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