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立体几何中添加辅助线的策略
立体几何中添加辅助线的主要策略:一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整;
二是要把已知量和未知量统一在一个图形中,
如统一在一个三角形中,这样可以用解三角形
的方法求得一些未知量,再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。
、添加垂线策略。
因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的,
如线面角、二面角的定义,点到平面
线到平面、平面到平面距离的定义,三垂线定理,线面垂直、面面垂直的判定及性质定理,
正棱柱、正棱锥的性质,球的性质等,所以运用这些定乂或定理,就需要把没有的垂线补上。
尤其要注意平面的垂线,因为有了平面的垂线,才能建立空间直角坐标系,扌能使用三垂线
定理或其逆定理。
例1.在三棱锥O_ABC中,三粲棱OA、OB、OC两两互相垂直,且OA=OB=OC,M
是AB边的中点,则OM与平面ABC所成的角的大小是
(用反三角函数表示)
M
少B
图1
解:如图1,由题意可设OA=a,则AB=BC=CA=√2a,V。A=-a,O点在底面
6
的射影D为底面△ABC的中心,OD
a。又DM=
MC V3
a,OM与平
面ABC所成角的正切值是tn0=3=√2,所以二面角大小是acan√z。
6
a
点评:本题添加面ABC的垂线OD,正是三棱锥的性质所要求的,一方面它构造出了正
三棱锥里面的Rt△oDM,RtΔoDC,另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。
二、添加平行线策略。
其目的是把不在一起的线,集中在一个图形中,构造出三角形、平行四边形、矩形、菱
形,这样就可以通过解三角形等,求得要求的量,或者利用三角形、梯形的中位线来作出所
需要的平行线。
例2如图2,在正方体ABCD-A,B,C,D,中,B,E1=D,F=A1B1,则BE,与DF所成
角的余弦值是()
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15
8
A
B
17
C
7…
C
解析:取AG、AB,易得四边形ADFG是平行四边形,则AG/DF,再作E1E∥AG,
四边形E,EA也是平行四边形,∠BE,E就是BE,与DF所成角,由余弦定理,算出结果,
选A
点评:求异面直线所成角常采用平移法。
三、向中心对称图形对称中心添加连线策略。
这主要是因为对称中心是整个图形的“交
通”枢纽,它可以与周围的点、线、面关联起来,常见的有对平行四边形连对角线,对圆的
问题向圆心连线,对球体问题向球心连线。
例3.如图3,O是半径为1的球的球心,点A、B、C在球面上,OA、OB、OC两两垂
直,E、F分别是大圆弧AB与AC的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是(
2丌
D
4
图3
解析∶添加辅助线OE、OF,连结EF,构成ΔOEF,关键是求∠EOF。为了使EF与已
知粲件更好地联系起来,过E作EG⊥AO,垂足为G,连结FG,构造ΔGEF,在图3中,
EG =1 X sin
=FG,∠EGF
EF=√EG2+FG2=1=0E=oF,∠EOF
T
3
点E、F在该球面上的球面距离为三x1=,故选B3
点评∶本题抓住了球心,抓住了弧中点,利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。
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