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数学
均值不等式
被称为均值不等式。 ·即调和平均数不超过几何平均数，几何
平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为 “调几算方 ”。
其中： ，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式
设函数 （当 r不等于 0 时）； （当 r=0
时），有 时， 。
可以注意到， Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即
。
特例
⑴对实数 a,b，有 （当且仅当 a=b 时取“=号”）， （当且仅
当 a=-b 时取 “=号”）
⑵对非负实数 a,b，有 ，即
⑶对非负实数 a,b，有
⑷对实数 a,b，有
⑸对非负实数 a,b，有
⑹对实数 a,b，有
⑺对实数 a,b,c，有
⑻对非负数 a,b，有
⑼对非负数 a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属算术 —几何均值不等式（ AM-GM 不等式）：
当 n=2 时，上式即：
当且仅当 时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即 。
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数（用三角形式表示） ，则：
复数乘方公式： .
圆排列
定义
从 n 个不同元素中不重复地取出 m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同
元素的圆排列。 如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个 m-圆排列， 则认为这两个圆排列相
同。
计算公式
n 个不同元素的 m-圆排列个数 N 为：
特别地，当 m=n 时， n 个不同元素作成的圆排列总数 N 为： 。
费马小定理
费马小定理 (Fermat Theory) 是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如 p 是质数，且
(a,p)=1 ，那么 a(p- 1)≡1（mod p ）。即：假如 a 是整数， p 是质数，且 a,p 互质 (即两者只
有一个公约数 1)，那么 a 的 (p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。
组合恒等式
组合数 C(k,n) 的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。
基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑ [(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) （这个性质叫组合的【聚合性】）
C(k,n)+C(k,n+1)+ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p- 2,m)+ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=
C(p,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数 α和 β满足如下关系： α+β= ，α·β=，那么这两个数 α和 β是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。 [5]
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元 n 次方程
根与系数的关系。
定理：
设 （ i=1、2、3、 n）是方程：
的 n 个根，记 k 为整数），则有： 。 [
实系数方程虚根成对定理：
实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则 =a-bi 也
是一个根。
无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：
假设方程有解，并设 X 为最小的解。
从 X 推出一个更小的解 Y。
从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明： 假设整数 m1,m2, ... ,mn 两两互质，则对任意的整数： a1,a2, ... ,an ，
方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设 是整数 m1,m2, ... ,mn 的乘积，并设
是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。
设 为 模 的数论倒数 ：方程组 的通解
形式 ：
在模 的意义下，方程组 只有一个解：
同余
同余公式也有许多我们常见的定律 ,比如相等律 ,结合律 ,交换律 ,传递律 .如下面的表
示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d) →b≡a(mod d)
3)(a ≡b(mod d),b ≡c(mod d)) →a≡c(mod d)
如果 a≡x(mod d),b ≡m(mod d),则
4)a+b≡x+m （mod d ）
其中 a≡x (mod d) ，b≡m(mod d)
5)a- b≡x-m (mod d)
其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d)
6)a*b ≡x*m (mod d )
其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d)
7）a≡b（mod d ）则 a-b 整除 d
欧拉函数
φ函数的值 通式： φ (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4) , ..(1-1/pn), 其中 p1,
p2 ,, pn 为 x 的所有质因数， x 是不为 0 的整数。 φ(1)=1 （唯一和 1互质的数 (小于等于
1)就是 1 本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12=2*2*3 那么φ（12）=12*（1-1/2）
*(1-1/3)=4
若 n 是质数 p 的 k 次幂， φ(n)=p^k -p^(k-1)=(p-1)p^(k-1) ，因为除了 p 的倍数外，其他
数都跟 n 互质。
设 n 为正整数，以 φ(n)表示不超过 n 且与 n 互
素的正整数的个数，称为 n 的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ (n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数 ——若 m,n 互质， φ(mn)=φ(m)φ(n。)
特殊性质：当 n 为奇数时， φ(2n)= φ(n), 证明与上述类似。
若 n 为质数则 φ(n)=n-1。
格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点 (lattice point) 或整点。
性质
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也
有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点 a 个，格点多边形的边上有格点 b 个，
该格点多边形面积为 S，
则根据皮克公式有 S=a+b/2-1 。
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角
定义
三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠ O-ABC 。
特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角： 由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射
线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质
1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于 180°，小于 540°。
三面角相关定理
设三面角∠ O-ABC 的三个面角∠ AOB 、∠BOC、∠ AOC 所对的二面角依次为∠ OC，
∠OA，∠ OB。
1、三面角正弦定理：
sin∠OA/sin ∠BOC=sin ∠OB/sin ∠AOC=sin ∠OC/sin ∠AOB。
2、三面角第一余弦定理：
cos∠BOC=cos ∠OA×sin∠AOB× sin∠AOC+cos ∠AOB× cos∠AOC 。
3、三面角第二余弦定理：
cos∠OA=cos ∠BOC× sin∠OB×sin∠OC-cos ∠OB×cos∠OC。
直线方程
一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向
式，点向式。
点斜式
已知直线一点 (x1,y1,) 并且存在直线的斜率 k，则直线可表示为： y-y1=k(x-x1) 。适用范
围：斜率 K 存在的直线。
斜截式
已知与 Y 轴的交点（ 0，b），斜率为 K，则直线可表示为： y=kx+b 。适用范围：斜率
存在的直线。
两点式
两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（ X1，Y1），（X2，Y2）时，将
直线的斜率公式 k=(y2-y1)/(x2-x1) 代入点斜式时，得到两点式
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。
截距式
已知与坐标轴的交点（ a，0），（ 0，b）时，截距式的一般形式： x/a+y/b=1 （a≠0且
b≠0）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。
一般式
ax+by+c=0 (A 、B 不同时为 0)。斜率： -A/B 截距： -C/B。两直线平行时：
A1/A2=B1/B2≠C1/C2 ，则无解。两直线相交时： A1/A2≠B1/B2；两直线垂直时： A1A2+B1B2=0
A1/B1×A2/B2=-1 ，都只有一个交点。两直线重合时： A1/A2=B1/B2=C1/C2 ，则有无数解。
适用范围：所有直线均可适用。
法线式
过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为 α，p 是该线段的长度。
x·cos α+y sin- p=α0。
法向式
知道直线上一点（ x0，y0）和与之垂直的向量（ a， b），则 a（x-x0）+b（ y-y0）=0，
法向量 n=（a，b）方向向量 d=（b， -a）k=a/b 。
点向式
知道直线上一点 (x0,y0)和方向向量（ u,v ）， (x-x0)/u=(y- y0)/v (u ≠0,v≠。0)
极坐标系
极坐标系（ polar coordinates ）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平
面上取定一点 O，称为极点。从 O 出发引一条射线 Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，
通常规定角度取逆时针方向为正。 这样，平面上任一点 P 的位置就可以用线段 OP 的长度 ρ
以及从 Ox 到 OP 的角度 θ来确定，有序数对（ ρ，θ）就称为 P 点的极坐标，记为 P（ρ，
θ）；ρ称为 P 点的极径， θ称为 P 点的极角。
极坐标方程
于极点（ 90°/270°）对称，如果 r( θ-α) = r( ，θ则)曲线相当于从极点顺时针方向旋转 α°。
圆
方程为 r( θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在 (r0, φ半) 径为 a 的圆的方程为 r^2- 2rr0cos( θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程 r( θ)=a表示一个以极
点为中心半径为 a 的圆。
直线
经过极点的射线由如下方程表示 θ=φ
,其中 φ为射线的倾斜角度，若 k为直角坐标系的射线的斜率，则有 φ = arctan k。 任
何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点 （ r0, φ）处的直线与射线 θ = φ垂 直，
其方程为
r( θ )=r0sec( -φθ)
圆幂
点到圆的幂：设 P 为⊙O 所在平面上任意一点， PO=d ，⊙O 的半径为 r，则 d^2－ r^2
就是点 P 对于⊙ O 的幂．过 P 任作一直线与⊙ O 交于点 A、B，则 PA·PB= |d2 － r2|．
“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线， 如果此二圆相交， 则该
轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．
三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．
三个圆的根心对于三个圆等幂．
当三个圆两两相交时，三条公共弦 (就是两两的根轴 )所在直线交于一点．
1．定义从一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点
A 于这圆周的幂．
2．圆幂定理已知⊙ (O, r) ，通过一定点 P，作⊙ O 的任一割线交圆于 A, B，则 PA，
PB 为 P 对于⊙ O 的幂，记为 k，则
当 P 在圆外时， k=PO^2-r^2 ；
当 P 在圆内时， k= r^2-PO^2 ；
当 P 在圆上时， k=0.
图Ⅰ：相交弦定理。 如图，AB、CD 为圆 O 的两条任意弦。 相交于点 P，连接 AD、BC，
由于∠ B 与∠ D 同为弧 AC 所对的圆周角， 因此由圆周角定理知： ∠B=∠D，同理∠ A=∠C，
所以 。所以有： ，即： 。
图Ⅱ：割线定理。如图，连接 AD、BC。可知∠ B=∠D，又因为∠ P 为公共角，所以有
，同上证得 。
图Ⅲ：切割线定理。如图，连接 AC、AD。∠ PAC 为切线 PA 与弦 AC 组成的弦切角，
因此有∠ PBC=∠D，又因为∠ P 为公共角， 所以有 ，易
图Ⅳ： PA、PC 均为切线， 则∠ PAO= ∠PCO=9°0 ，在直角三角形中： OC=OA=R ，PO
为公共边，因此 。所以 PA=PC ，所以 。
综上可知， 是普遍成立的。
根轴
定义
在 平面上任给两不同心的圆，则对两圆 圆幂相等的点的 集合是一条直线，这条线称为这
两个圆的根轴。
另一角度也可以称两不 同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。
根轴方程
设两圆 O1,O2 的方程分别为：
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)
(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)
由于根轴上任意点对两圆的 圆幂相等，所以根轴上任一点 (x,y),有
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2= 圆幂 =(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2
两式相减，得根轴的方程 (即 x,y 的方程 )为
2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0
其中 f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2 类似。
解的不同可能
(1)(2)连立的解，是两圆的公共点 M(x1,y1),N(x2,y2)
如果是两组不等实数解， MN 不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。
如果是相等实数解， MN 重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。
如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称 M,N 是
共轭虚点。
尺规作图
相交 ,相切时 根轴为两圆交点的连线 .
内含时 ,作一适当的圆与两园相交 ,这圆与两圆的根轴的交点在根轴上 .同理
再作一点 ,两点所在的直线即为根轴 (等幂轴 )
相关定理
1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
4，若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。
5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交
于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行；
6， 反演后的圆和反演圆和被反演的圆 3 个圆共根轴。
容斥原理
也可表示为：设 S 为有限集 , 则
两个集合的容斥关系公式： A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |( ∩：重合的部分）
三个集合的容斥关系公式： |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A ∩B∩C|
抽屉原理
第一抽屉原理
原理 1： 把多于 n+k 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两
件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是 n×1，
而不是题设的 n+k(k≥1)，故不可能。
原理 2 ：把多于 mn(m 乘以 n)（n 不为 0）个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个
抽屉里有不少于（ m+1）的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进 m 个物体 ,那么 n 个抽屉至多放进 mn 个物体 ,
与题设不符，故不可能 。
原理 3 ：把无穷多件物体放入 n 个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。
原理 1 、 2 、3 都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理
把（mn－ 1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（ m—1）个物体 (例
如，将 3×5-1=14 个物体放入 5 个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于 3-1=2) 。
极端原理解题，就是在解决相关数学问题时，重点放在所研究问题的极端情况。
极端原理
最小数原理、最大数原理
命题一 有限个实数中，必有一个最小数（也必有一个最大数）。
命题二 在有限个或无限个正整数中，必有一最小数。
命题二可用集合的语言表述为，
最小数原理 ：若 是自然数集 的任一非空子集 (注：有限或无限均可 )，则 中必有
最小的数 ，即对属于 的任何数 ，均有 。
最短长度原理
最短长度原理 1：任意给定平面上的两点，在所有连接这两点的曲线中，以直线段的长
度为最短；（需注意此原理虽然是直观的，但对曲线和其长度的严格定义却颇费周折。）
最短长度原理 2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有曲线中， 以垂线段
的长度为最短。

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