资源简介

2021春北师版九下数学2.2.5二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质导学案
学习目标
1、经历探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的过程，学会利用图象研究和理解二次函数y=ax2+bx+c的性质，并且会用配方法化成y=a（x-h）2+k的形式。
2、能比较二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=ax2的异同与联系，并能解决简单的问题。
学习策略
结合所学过的二次函数的图像与性质，理解二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质；
比较二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=ax2的异同与联系.
学习过程
复习回顾：
将二次函数y=x2的图象向右平移4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式
是（ ）
y=（x﹣4）2+1 B．y=（x+4）2+1
C．y=（x﹣4）2﹣1 D．y=（x+4）2﹣1
2、填一填：
函数表达式 开口方向 增减性 对称轴 顶点坐标
y=ax2 a 0,开口向上;a<0,开口 a>0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小，在对称轴 ,y都随x的增大而增大;a 0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而 y轴（直线x= ） （0，0）
y=ax2+c y轴（直线x=0） （ ）
y=a（x-h）2 直线x=h （ ）
y=a（x-h）2+k 直线x=h （h，k）
二.新课学习：
1.自学教材P39-40，回答以下问题
（1）二次函数y=ax2+bx+c通过 可化成二次函数y=a（x-h)2+k的形式，它们都是一条 。
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴是直线 ；顶点坐标（ ）
2、自学课本P39-40思考下列问题：
（1）你能总结出二次函数y=ax2+bx+c的性质吗？
（2）二次函数y=ax2+bx+c是如何由二次函数y=ax2平移得到的？
三.尝试应用：
1、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b,k的值分别为（ ）
A.0，5 B.0，1 C.-4，5 D.-4，1
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过 。
3、已知二次函数y=(x-2a)2+a-1(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，求这条直线的解析式。 .
自主总结：
（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质：
a.抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 ,对称轴是平行于y轴的 .
b.当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c的开口 ,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c的开口 ,并且向下无限伸展.
c.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的 ;在对称轴 ,y随着x的增大而增大;当x=时函数y的值最小(是 ).
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增大而减小;当x=时,函数y的值最大(是 ).
（2）y=ax2+bx+c（y=a(x-h) +k(a≠0) ）的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
五.达标测试
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的
是（ ）

函数有最小值 B．对称轴是直线x=
C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
3．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（ ）

A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2
二、填空题
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为 .
5．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是 。
6．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 。
三、解答题
7． 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），求点B的坐标。
8．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）
，求能使y1＜y2成立的x的取值范围。
9．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，求c的取值范围。
已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；
（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选：B．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．【解析】A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
3．【解析】分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．
故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．
故选：D．
点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．
二、填空题
4．【解析】因为对称轴x=1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．
故答案为0.
点评：巧妙利用了抛物线的对称性．
5．【解析】∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a，开口向上，∴当x≤1﹣a时，y随x增大而减小，∴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．
故答案为：a≤﹣3．
点评：本题考查了二次函数的增减性．
6．【解析】因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．
故答案为：﹣4＜x＜2
点评：利用二次函数的对称性，判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．
三、解答题
7．【解析】已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．
解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）
点评：本题主要考查二次函数的对称性
8．【解析】根据两函数交点坐标得出，能使y1＜y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围，即可得出答案．
解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∵结合图象，∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是：﹣2＜x＜8，
点评：此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．
9．【解析】因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．
解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3
点评：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．
【解析】根据题意，得m2－2＝2，且m－2≠0，解得m＝－2
点评：本题考查了二次函数的定义．

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