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2021春北师版九下数学2.3确定二次函数的表达式导学案
学习目标
1、经历探究确定二次函数表达式的过程，学会用待定系数法确定二次函数的表达式。
2、能根据抛物线上的两个或三个的点的坐标来求二次函数的表达式。
学习策略
结合所学过的二次函数的知识，理解三种二次函数表达式；
能根据已知抛物线上的两个或三个的点的坐标来求二次函数的表达式.
学习过程
复习回顾：
1、下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y= B．y= C．y=a2x2 D．y=
2、（1）二次函数的定义：一般地，形如 (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
（2）用 画出二次函数的图象，可以从图象上认识二次函数的性质，确定二次函数的 、开口方向和 。
二.新课学习：
1.自学教材P42-43，回答以下问题
在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？
（1）二次函数y=ax2+bx+c用 可化成：y=a（x-h)2+k。顶点是（ ）。如果已知顶点坐标，那么再知道图像上另 点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。
（2）二次函数的各项系数中有 是未知的，知道图像上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式。
2、自学课本P42-45思考下列问题：
（1）你能总结出求二次函数y=ax2+bx+c的表达式的规律方法吗？
（2）用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤是什么？
三.尝试应用：
1、已知二次函数y=x2+（2k+1）x+k2-1的最小值是0，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（0，5），B（5，0）两点，他的对称轴为直线x=3，这个二次函数的表达式为： 。
3、二次函数y=ax2+bx+c有最小值为－8，且a：b：c=1：2：(－3),求此函数的解析式。
自主总结：
（1）二次函数表达式的求法：a.已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择 .
b.已知图象的顶点坐标, 和最值,通常选择 .
c.已知图象与x轴的交点坐标,通常选择 .
（2）用 确定二次函数表达式的一般步骤:a.根据图像或已知点 二次函数表达式.b. 方程或方程组.c. 方程或方程组.d.解出的待定的 .e.把解出的系数 所设立的二次函数表达式中.
五.达标测试
一、选择题
1．如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（ ）
A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣1
2．已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．若函数y=mx +(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A.0 B.0或2 C.2或－2 D.0，2或－2
二、填空题
4.二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴的一个交点的坐标是（－1，0），则图像与x轴的另一个交点的坐标是_____．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0,3）,B（2,3）两点.请你写出一组满足条件的a，b的对应值．a=____，b=______．
6．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是_____________
三、解答题
7． 如图，一条抛物线经过（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点．求此抛物线的函数解析式．
8．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．
10．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-4，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C（0，-4），点D为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求S△ABC：S△ACD的值．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】试题分析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），
把点（0，0）代入函数解析式得a2﹣1=0，解得a=±1；
又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；
所以a=1．故选C．
点评：二次函数图象与系数的关系．
【解析】试题分析：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴，解得6≤c≤14
故选A．
点评：二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【解析】试题分析：当函数为一次函数时，则m=0；当函数为二次函数时，则，解得：m=±2.综上所述，m=0或2或－2.
故选A.
点评：函数的性质
二、填空题
4．【解析】把（－1，0）代入y＝x2－2x＋m得
0＝1+2＋m，
∴m=-3，
∴y＝x2－2x-3.
解x2－2x-3=0得
x1=-1,x2=3
∴y1＝1+2-3=0, y2＝9-6-3=0
∴另一个交点的坐标是（3，0）
故答案：（3，0）
点评：函数的性质
5.【解析】把A(0,3),B(2,3)两点代入
y=ax +bx+c中，得
c=3，4a+2b+c=3，
所以b= 2a，
由此可设a=1，b= 2，
故答案为1， 2.
点评：求二次函数的系数
6．【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得： ，
解得：b=2，c=3，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．
三、解答题
7．【解析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点代入，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
点评：待定系数法求二次函数解析式
8．【解析】试题分析：（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB |yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
点评：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
9．【解析】试题分析：设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，再将点（1，﹣6）代入求出a的值，从而得解．
试题解析：∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），
∴设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a（1+1）2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．
点评：待定系数法求二次函数解析式．
10.【解析】试题分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把点C（0，-4）代入即可．
（2）连接OD，根据S△ADC=S△AOD+S△OCD-S△AOC求出△ADC面积即可解决问题．
试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-4，0），B（2，0）两点，
∴可以假设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
∵与y轴相交于点C（0，-4），
∴-4=-8a，
∴a=，
∴抛物线解析式为y=x2+x-4，
（2）连接OD．
∵y=x2+x-4=（x+1）2-，
∴点D坐标（-1，-），
∴S△ABC=×AB×OC=×6×4=12，
S△ADC=S△AOD+S△OCD-S△AOC=×4×+×4×1-×4×4=3．
∴S△ABC：S△ADC=12：3=4：1．
点评：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

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