资源简介

2021春北师版九下数学2.4.2二次函数的应用导学案
利用二次函数解决抛物线型运动与建筑问题
学习目标
1、学会用二次函数解决抛物线型运动与建筑问题；
2、在运用知识解决问题时体会二次函数的应用意义及数学的转化思想.
学习策略
结合所学过的二次函数的知识，理解最值的意义；
能根据实践问题解设二次函数解决抛物线型运动与建筑问题.
三、课前热身——激发兴趣、温故知新
1. 二次函数的最大值是______________.
2. 二次函数,当=________时，有最_____值，这个值是_______.
四、课堂探究——质疑解疑、合作探究
探究点：利用二次函数求抛物线型运动与建筑问题
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，柱高为0.8m，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度（m）与水面距离（m）之间的函数关系式为．
⑴ 求喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
⑵ 水池的半径至少为多少才能使喷出的水流都落在水池内？
例题：如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m .
⑴ 求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
⑵ 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
⑶ 在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
练习：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O为原点，OM所在的直线为轴建立直角坐标系.
⑴ 直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标；
⑵ 求这条抛物线的解析式；
⑶ 若有搭建一个矩形的“支撑架”AD－DC－CB,使C,D点在抛物线上，A,B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
五.达标测试
一、选择题
1.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且AC⊥x轴.若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( )
A.16米 B.米 C.16米 D.米
2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
3.标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度h(单位：m)与标枪被掷出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①标枪距离地面的最大高度大于20 m；②标枪飞行路线的对称轴是直线t＝；③标枪被掷出9 s时落地；④标枪被掷出1.5 s时，距离地面的高度是11 m，其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
4.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 .
5.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 m.
6.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m.
7.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点与地面的距离为 米.
三、解答题
8.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在水池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
(2)求出水柱的最大高度为多少？
　　
9.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
达标测试答案
一、选择题
1.B 2.A 3.C
二、填空题
4.y＝－(x＋6)2＋4
5.(4－4)
6.3
7.0.5
三、解答题
8.解：(1)如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋h，
代入(0，2)和(3，0)，得解得
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋，
即y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3).
(2)∵y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)，
∴当x＝1时，y最大＝.
答：水柱的最大高度为 m.
9.解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3.
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4，
∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20.
答：在飞行过程中，第2 s时小球飞行高度最大，最大高度是20 m.

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