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2021春北师版九下数学2.4.3二次函数的应用导学案
利用二次函数解决利润最大问题
学习目标
1、学会用二次函数解决利润最大问题。
2、在运用知识解决问题时体会二次函数的应用意义及数学的转化思想。
学习策略
结合所学过的二次函数的知识，理解最值的意义；
能利用二次函数解决利润最大问题，体会数学与实践相结合.
学习过程
复习回顾：
1、当x=（ ）时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．
A．-1 B．y=2 C．y=1 D．y=-2
2、在底边长BC=20cm，高AM=12cm的三角形铁板ABC上，要截一块矩形铁板EFGH，如图所示．当矩形的边EF= cm时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为 cm ．
二.新课学习：
1.自学教材P48-49，回答以下问题
销售额的表达式： ；利润的公式： 。
在例2中，租金与收入的关系式： 。
2、自学课本P48-49思考下列问题：
（1）你能指出例2中的变量跟常量吗，租金与收入的关系式是什么？
（2）解决“利润最大”的步骤是什么？
三.尝试应用：
1.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：，，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）。
A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
2.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x= 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
3.春节期间，为了满足百姓的消费需求，某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．冰箱、彩电的进价、售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
冰箱 M 2500
彩电 m﹣400 2000
商场用80000元购进冰箱的数量用64000元购进彩电的数量相等，求表中m的值；
（2）为了满足市场需要要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的；若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，求能获得的最大利润w的值．
自主总结：
（1）解决“利润最大”问题的基本方法： 。
（2）解决“利润最大”问题的步骤： 自变量； 立函数的解析式；确定 的取值范围；根据顶点坐标公式求出最 值或最 值（在自变量的取值范围内）。
五.达标测试
一、选择题
1．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3m B．m C．4m D．9m
2．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）月．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A.20 B．1508 C．1550 D．1558
二、填空题
4.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）。未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元。通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件。在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为_____________。
5．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行的最大距离是 m．
6．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x= 元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
三、解答题
7． 商店购进一种商品进行销售，进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60＋x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？最大月利润时多少？
8．银隆百货大楼服装柜在销售中发现：“COCOTREE”牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五 一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．
（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
（2）这次降价活动中，1200元是最高日利润吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高利润值．
9．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
10．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请画出上述函数的大致图象.
（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小丽解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),
即y=-20x2+100x+6000.
∵降价要确保盈利，∴40＜60-x60.解得0x＜20.
（2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1：
（3）∵a=-20＜0，
∴当x==2.5时，y有最大值，y==6125.
所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125.
老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确.（2）（3）问的答案，也都存在问题.请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因.
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】试题分析：由已知AB=12m知：
点B的横坐标为6．
把x=6代入y=﹣，
得y=﹣9．
即水面离桥顶的高度为9m．
故选D．
考点：二次函数的应用．
2．【解析】试题分析：由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．
故选A．
考点：二次函数的应用、二次不等式与二次函数的关系
3．【解析】试题分析：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故选D．
考点：二次函数的最值．
二、填空题
4．【解析】试题解析：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（110-40-t）（20+4t）-（20+4t）a
化简，得
y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6．
考点：二次函数的应用．
5．【解析】试题分析：∵y=60x﹣1.5x2=﹣1.5（x﹣20）2+600，
∴x=20时，y取得最大值，此时y=600
考点：二次函数的应用．
6．【解析】试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=-x2+6x，
当x=-=3时，y有最大值，
即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
考点：二次函数的应用．
三、解答题
7．【解析】试题分析：（1）根据题意售价每涨元每月要少卖件，售价每下降元每月要多卖件，根据等量关系列出方程即可；（2）根据每件商品的利润与商品销量的乘积即为总利润，列出与的函数关系式，再利用二次函数的性质可得到最大利润.
试题解析：
（1） y=
（2）当0≤x≤30时
w＝( 20＋x )(( 300－10x )＝－10x 2＋100x＋6000＝－10( x－5 )2＋6250
x＝5时，w有最大值为6250
当－20≤x＜0时
w＝( 20＋x )(( 300－20x )＝－20x 2－100x＋6000＝－20( x＋ )2＋6125
x＝－时，w有最大值为6125.
由题意知x应取整数，故当x＝－2或x＝－3时，w＜6125＜6250
所以，当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元.
考点：二次函数的应用．
8．【解析】试题分析：（1）首先设每件降价x元，则每件实际盈利为（100-60-x）元，销售量为（20+2x）件，用每件盈利×销售量=每天盈利，列方程求解．为了扩大销售量，x应取较大值．
（2）设每天销售这种童装利润为y，利用（1）中的关系列出函数关系式，利用配方法解决问题．
试题解析：（1）设每件童装应降价x元，由题意得：
（100-60-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20，
因要减少库存，故取 x=20，
答：每件童装应定价80元．
（2）1200不是最高利润，
y=（100-60-x）（20+2x）
=-2x 2+60x+800
=-2（x-15）2+1250
故当降价15元，即以85元销售时，最高利润值达1250元．
考点：二次函数的应用．
9．【解析】试题分析：（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程；
（2）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（-5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
试题解析：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x2+800x-27500
∴y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；
（2）当y=4000时，-5（x-80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（-5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
考点：二次函数的应用．
10.【解析】（1）自变量x的取值范围是0x＜20，且x为整数.
(2)函数不能为实线，是图象中，当x=0、1、2、3、4、5....19时，
对应的20个有限点.如图:
（3）若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元，
显然，只有当x=2或3时，
y有最大值，y最大值=6120元.
考点：二次函数的应用．

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