资源简介

2021春北师版九下数学2.5二次函数与一元二次方程导学案
学习目标
1、体会二次函数与一元二次方程之间的联系。
2、理解二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，学会利用二次函数图像求一元二次方程的近似根。
学习策略
结合所学过的二次函数和一元二次方程的知识，理解它们之间的联系；
能利用二次函数图像求一元二次方程的近似根.
学习过程
复习回顾：
1、已知二次函数的图象与x轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛物线是（ ）．
A．y=13x2-43x+53 B．y=13x2-43x-53 C．y=-13x2+43x+53 D．y=-13x2-43x+53
2、一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ_____时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根
二.新课学习：
1.自学教材P51-55，回答以下问题
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况： 、 、 。与此对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况： 、 、 。
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的 就是一元二次方程ax2+bx+c=0的 。
2、自学课本P51-55思考下列问题：
（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系是什么？
（2）利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是什么？
三.尝试应用：
1．当a < 0 时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在 （ ）
A、x轴上方 B、x轴下方 C、y轴右侧 D、y轴左侧
2．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为__________.
3．已知二次函数y=x2+4x+k-1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围;
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
自主总结：
（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：a.与x轴有 个交点，有两个相异的实数根，根的判别式Δ=b2-4ac>0；b.与x轴有1个交点，有 的实数根，根的判别式 ；c.与x轴没有交点，没有实数根，根的判别式 .（3）利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤:①用 作二次函数y=ax2+bx+c的图象；②观察估计二次函数的图象与x轴的 的横坐标；③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的 。
五.达标测试
一、选择题
1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．抛物线与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
二、填空题
4．抛物线y=x2-2x+k与x轴没有交点，则k的取值范围是_____．
5．如图，是二次函数y=ax2+bx-c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是________.（精确到0.1）
6．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1,2），与x轴的一个交点A在点(-3, 0)和(-2 ,0)之间，其部分图象如图，则以下结论:①b2-4ac<0 ;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c+2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为______个.
三、解答题
7． 已知抛物线.
（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点.
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）当x为何值时，y＞0；y＜0？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
9．已知函数y=x2-2mx-2（m+3）（为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为x1和x2，且，求此函数的解析式．
10．如图，二次函数y1=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y2=mx+n的图象经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式及点D的坐标；
（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】试题分析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x==1，∴b=﹣2a＜0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确；∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，所以④错误．
故选：C．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
2．【解析】试题分析：根据题意得△=，所以抛物线与x轴只有一个交点．故选B．
考点：抛物线与x轴的交点．
3．【解析】试题分析：根据题意可得：二次函数的对称轴为直线x=1，则函数与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，则方程的解为x=－1或x=3.
考点：二次函数的性质
二、填空题
4．【解析】由题意得
，
考点：二次函数的性质
5．【解析】试题解析：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=2，
而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为0.8，
∴x1=0.8；
又∵对称轴为x=2，
则，
∴x2=2×2-0.8=3.2．
考点：二次函数的性质
6．【解析】试题解析：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c -2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故正确结论的个数有3个．
考点：二次函数的图象与系数的关系
三、解答题
7．【解析】试题分析：(1)、将x=0，y=1代入函数解析式求出p的值，然后令y=0得出方程的解，从而求出抛物线与x轴的交点坐标；(2)、利用一元二次方程根的判别式得出答案.
试题解析：(1)、对于抛物线 将x=0，y=1代入得：，即，
所以抛物线解析式为 令y=0，得到， 解得：，
则抛物线与x轴交点的坐标为（，0）与（2，0）
(2)、对于一元二次方程
∵△=p2﹣4（﹣）=p2﹣2p+1=（p﹣1）2≥0， ∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点
考点：二次函数的性质
8．【解析】试题分析：(1)、方程的解就是函数图象与x轴的交点；(2)、根据图形可以进行判定；(3)、在对称轴的右边，y随x的增大而减小.
试题解析：(1)、由图形可得：x1=1，x2=3；
(2)、结合图形可得：1＜x＜3时y＞0；x＜1或x＞3时y＜0；
(3)、根据图形可得当x≥2时，y随x的增大而减小．
考点：二次函数图象的性质.
9．【解析】试题分析：（1）证明△＝b2－4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得到x1＋x2＝2m，x1x2＝－2（m＋3）代入，解方程得出m=1即可．
试题解析：（1）令y＝0，得△＝（－2m）2－4[－2（m＋3）]＝4（m＋1）2＋20＞0
∴无论m取何值，方程x2－2mx－2（m＋3）＝0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数与轴总有两个交点．
（2）依题意有x1＋x2＝2m，x1x2＝－2（m＋3）
由，解得m＝1．∴函数的解析式为y＝x2－2x－8．
考点：二次函数与一元二次方程．
10．【解析】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标；
（2）联立两函数的解析式，即可求得B、D的坐标，进而可判断出y2＞y1时x的取值范围．
试题解析：（1）二次函数y1=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）；
∴，解得；
∴二次函数图象的解析式为y1=﹣x2﹣2x+3；
∴点D的坐标为（﹣2，3）；
（2）y2＞y1时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．

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