资源简介

2021春北师版九下数学3.5确定圆的条件导学案
学习目标
1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
学习策略
1.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.
2.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.
3.形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
学习过程
一.复习回顾：
1.经过一点你能画出几条直线？
2.经过两点你能画出几条直线？
3.已知线段AB，你会作线段AB的中垂线吗？
4.经过几点能确定一个圆？
二.新课学习：
1.作圆，使它经过已知点A．你能作出几个这样的圆
（1）已知作圆的关键是确定圆心和半径，过已知点A的圆的圆心能是点A吗？为什么？
（2）过已知点A的圆的圆心怎么确定？半径呢？
（3）同学们按照：先找到圆心，再确定半径，最后画圆的方法，并尝试能作出多少个圆？
2. 作圆，使它经过已知点A、B.
（1）你是如何作的
（2）除此以外还有符合条件的圆吗？你能作出几个这样的圆
（3）你作出的圆的圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么位置关系 为什么
（4）线段AB的垂直平分线上有多少个点？这些点都可以作为圆心吗？
3. 作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．
（1）要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离有何关系？
（2）以前我们学过：“到三角形三个顶点距离相等的点”是它们三边什么线的交点？（3）这个交点就是圆心的理由是什么？
（4）究竟应该怎样找圆心呢
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心
4. 如果A、B、C三点在同一条直线上，你还能作出过A、B、C三点的圆吗？为什么？
三.尝试应用：
1. 下列条件，可以画出唯一一个圆的是( )
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．已知不在同一条直线上的三个点
2. 平面上有三个点A，B，C，若AB＝5 cm，BC＝3 cm，CA＝4 cm，则过A，B，C三点________ ____(填“可以”或“不可以”)确定一个圆，且圆心在____________上，是____________中点．
3. 如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置．
四.自主总结：
1.不在 上的三个点确定一个圆．
2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的 .
五.达标测试
一、选择题
1.下列命题正确的个数有（　　）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（　　）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
二、填空题
4.直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．
5.若点O是△ABC的外心，∠AOB=110°，则∠C= ．
6.如图所示，已知点O1是△ABC的外心，以AB为直径作⊙O，恰好经过点O1，则
∠ACB= ．
三、解答题
7．如图已知A、B两点，
求作（1）经过A、B两点的圆⊙O；（要求写作法）
Rt△ABC，使得Rt△ABC内接于⊙O．
8.如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60°．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．
9. 如图，一个长度为8m的梯子AB的顶点A向点C滑动过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出其长度．
10．如图，O是△ABC的外心，D是圆上一点，且OD⊥BC，AE是BC边上的高．试探索∠OAD与∠EAD的大小关系，并说明理由．
3.5确定圆的条件达标测试答案
一、选择题
1．【解析】分别利用确定圆的条件判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①过两点可以作无数个圆，正确；
②经过三点一定可以作圆，错误；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，
正确的有2个，
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识及确定圆的条件，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆，难度不大．
2．【解析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆画出图形可得答案．
【解答】解：如图所示：
故选：C．
【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．
3. 【解析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
二、填空题
4．【解析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
【解答】解：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
5．【解析】根据三角形外心的性质和圆周角定理直接得出∠C的度数即可．
【解答】解：若是锐角三角形，如图1：
∵点O是△ABC的外心，∠AOB=110°，
∴∠C=55°．
如图2：若为钝角三角形，∠C=180°﹣55°=125°．
故答案为：55°或125°．
【点评】此题主要考查了三角形外心的性质以及圆周角定理，得出∠AOB与∠C的关系是解题关键．
6．【解析】连接AO1、BO1，首先由直径所对的圆周角是直角得出∠AO1B=90°，再由圆周角定理得出∠ACB=（360°﹣90°），即可得出结果．
【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AO1B=90°，
由圆周角定理得：∠ACB=（360°﹣90°）=135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理，由直径所对的圆周角是直角得出∠AO1B=90°是解决问题的关键．
三、解答题
7．【解析】使以O为圆心的圆经过A、B、C三点，即作直角三角形的外接圆，圆心是Rt△ABC斜边的中点．
【解答】解：作法如下：
以AB的中点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．
【点评】此题主要考查了如何确定直角三角形外接圆的圆心：直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点．
8．【解析】利用三角形中线的性质以及等边三角形的判定方法得出△BDC是等边三角形，进而得出∠ACB=90°，求出BC=AB，即可得出答案．
【解答】证明：∵CD是△ABC的中线，AB=2CD，
∴AD=BD=CD，
∵∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠BDC=∠DCB=60°，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠ACB=90°，
∴AB是△ABC的外接圆的直径，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB，
∴△ABC的外接圆的半径为CB．
【点评】此题主要考查了三角形的外心以及等边三角形的判定与性质，得出AB是△ABC的外接圆的直径是解题关键．
9．【解析】不发生变化，根据直角三角形的外心性质解答即可．
【解答】解：不发生变化，
理由如下：
∵梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，
∴外心和与点C的距离始终为AB，
∴不发生变化，
其长度为×8=4m．
【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
10. 【解析】根据平行线的性质和判定得出∠EAD=∠ODA，根据等腰三角形的性质得出∠OAD=∠ODA，即可得出答案．
【解答】解：∠OAD=∠EAD，
理由是：∵OD⊥BC，AE是BC边上的高，
∴OD∥AE，
∴∠EAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠EAD．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生的推理能力，解此题的关键是求出∠EAD=∠ODA，∠OAD=∠ODA．

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