资源简介

2021春北师版九下数学3.6.2直线和圆的位置关系导学案
学习目标
1.能判定一条直线是否为圆的切线．
2.会过圆上一点画圆的切线．
3.会作三角形的内切圆．
学习策略
1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
3.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
4.经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
学习过程
一.复习回顾：
上节课我们学习直线和圆的位置关系，你知道怎么判定直线和圆位置关系吗？
方法1：看直线与圆交点的个数
方法2：看直线到圆的距离d与圆的半径r的大小关系
二.新课学习：
1. 如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转.
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化
（2）直线l与⊙O的位置关系如何变化
（3）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r
（4）此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么
圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做：已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
（1）过A点的切线需要满足几个条件？
（2）你能找到这几个条件吗？
（3）你能根据条件作图吗？
3.作三角形的内切圆．
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
（1）假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离有什么关系？
（2）那么圆心在这个三角形的什么位置上？
（3）半径是什么？
（4）和三角形三边都相切的圆可以作出几个？
像这样和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
三.尝试应用：
1、下列说法中，正确的是（ ）。
A垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B 圆有且只有一个外切三角形
C三角形有且只有一个内切圆，
D三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
2、直角三角形两直角边长是5cm、12cm，则它的外接圆半径R=________,内切圆半径r=___________.
3、已知：在△ABC中，∠A=68°，点I是内心，求：∠BIC的度数.
四.自主总结：
1.切线的判定定理:过半径 且 于半径的 是圆的切线．
2.像这样和三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的 叫做三角形的内心，是三角形三条 的交点.
五.达标测试
一、选择题
1. 下列命题中正确的是（　　）
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2. 如图，Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．如图，在△ABC中，∠BAC=28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件中不符合的是（　　）
A．DE⊥AB B．∠EDB=28° C．∠ADE=∠ABD D．OB=BC
二、填空题
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　 　cm时，BC与⊙A相切．
5．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为　 　．
6．已知Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4，以点C为圆心作圆，当半径R等于　 　时，AB与⊙O相切．
三、解答题
7．如图，等边△ABC的边长为6．
（1）作正△ABC的内切圆；
（2）求内切圆的半径．
8. 如图，△ABC的内心为点I，外心为点O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数．
9. （1）如图（1），△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．（2）在图（2）中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．
10．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，OC∥AD交⊙O于E，点F在CD延长线上，且∠BOC+∠ADF=90°．
（1）求证：；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】由切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；与切线的定义：圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：由经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故A，B，C错误；
由圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，故D正确．
故选D．
【点评】此题考查了切线的判定与定义．此题比较简单，注意熟记定理与定义是解此题的关键．
2．【解析】先利用勾股定理计算出AC=6cm，然后根据圆的半径的定义求解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AC===6（cm），
∵点C在⊙A上，
∴⊙A的半径为6cm．
故选B．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理．
3．【解析】利用切线的判定方法，结合平行线的性质以及圆周角定理得出∠ABC=90°即可．
【解答】解：A、∵DE⊥AB，DE∥CB，
∴∠ABC=90°，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠EDB=28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDE+∠ADE=90°，
∵∠BAD=28°，
∴∠BAD+∠ADE=90°，
∴DE⊥AB，
∵DE∥CB，
∴∠ABC=90°，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDE+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠ABD，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∴DE⊥AB，
∵DE∥CB，
∴∠ABC=90°，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线，故此选项错误；
D、OB=BC，无法得出，AB⊥BC，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理和平行线的性质等知识，正确应用圆周角定理是解题关键．
二、填空题
4．【解析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．
5. 【解析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°．
【点评】此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
6．【解析】首先根据题意画出图形，再过点C作CD⊥AB于点D，由Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4，可求得BC的长，然后由三角形面积可得CD==2，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4，
∴CB==4，
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴CD==2，
∴当半径R等于2时，AB与⊙O相切．
故答案为：2．
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形面积问题．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
7．【解析】（1）分别作∠BAC、∠ABC的角平分线AE、BF，二者交于点O，以点O为圆心、OE为半径作圆O，圆O即是所求；
（2）根据等边三角形的性质以及角平分线的定义即可得出∠OBE=30°、∠OEB=90°、BE=3，再根据特殊角的三角函数值即可求出OE的长度，此题得解．
【解答】解：（1）分别作∠BAC、∠ABC的角平分线AE、BF，二者交于点O，以点O为圆心、OE为半径作圆O（如图所示），圆O即是正△ABC的内切圆．
（2）∵△ABC为等边三角形，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴AE垂直平分BC，∠OBE=∠ABC=30°，
∴BE=BC=3，∠OEB=90°．
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，∠OEB=90°，BE=3，
∴OE=BE tan∠OBE=3×=．
∴内切圆的半径为．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的定义以及等边三角形的性质，熟练掌握三角形内心的找法是解题的关键．
8. 【解析】如图，证明∠ABI=∠CBI（设为α），∠ACI=∠BCI（设为β）；求出α+β=65°，进而求出∠A即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△ABC的内心为点I，
∴∠ABI=∠CBI（设为α），∠ACI=∠BCI（设为β），
∵∠BIC=115°，
∴α+β=180°﹣115°=65°，
∴∠A=180°﹣2（α+β）=180°﹣130°=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°．
【点评】该题主要考查了三角形内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来解析、解答；对综合的解析问题、解决问题的能力提出了一定的要求．
9．【解析】（1）根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，由于∠CAE=∠B，则∠CAE+∠BAC=90°，所以OA⊥AE，则可根据切线的判定定理得到AE与⊙O相切于点A；
（2）作直径AD，根据圆周角定理得到∠B=∠D，则可与（1）中的证明方法一样得到AE与⊙O相切于点A．
【解答】证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）AE还与⊙O相切于点A．理由如下：
作直径AD，如图2，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵∠B=∠D，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠DAC=90°，即∠DAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．
10. 【解析】（1）证明弧相等可转化为证明弧所对的圆心角相等即证明∠BOC=∠COD即可；
（2）由（1）可得∠BOC=∠OAD，∠OAD=∠ODA，再由已知条件证明∠ODF=90°即可．
【解答】证明：（1）连接OD．
∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠OAD，∠COD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠BOC=∠COD，
∴=；
（2）由（1）∠BOC=∠OAD，∠OAD=∠ODA．
∴∠BOC=∠ODA．
∵∠BOC+∠ADF=90°．
∴∠ODA+∠ADF=90°，
即∠ODF=90°．
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

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