资源简介

2021春北师版九下数学3.7切线长定理导学案
学习目标
1.通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.
2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.
3.应用切线长定理进行相关的计算和证明.
学习策略
1.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力.
2.通过对例题的分析，调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，树立科学的学习态度．
3.通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功.
学习过程
一.复习回顾：
1、直线与圆的位置关系有 种，
（1） ；
（2） ；
（3） 。
2、过⊙O上一点可以画 条切线，试用尺规作图在下图中作出经过点A的切线MN。
二.新课学习：
1.从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB
之间有何关系？
（1）根据条件画出图形；
（2）度量线段PA和PB的长度；
（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；
（4）寻找证明猜想的途径；
（5）在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.
（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.
从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长.
切线长定理：过圆外一点，所画的圆的两条切线长相等。
切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
2. 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E，F，G，H，由切线长定理你能发现哪些线段相等
（1）由点A的切线可知 = .
（2）由点B的切线可知 = .
（3）由点C的切线可知 = .
（4）由点D的切线可知 = .
结论：AB+CD=A D+BC，进而得出：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
3．已知如图，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
（1）从图中可得出哪些结论？请说明理由.
（2）求⊙O 的半径时，应如何利用已知条件？
三.尝试应用：
1. 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点,∠ A =50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（　　）
A． 65° B． 115° C． 115°或65° D． 130°或65°
2. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm,过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为 cm.
3. 已知：如图PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，C为⊙O上一点，过C点作⊙O的切线，交PA,PB于D,E点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长.
四.自主总结：
1.过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的 叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长 ．
3.圆的外切四边形的 的和相等.
五.达标测试
一、选择题
1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　）
A．32 B．34 C．36 D．38
3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）
A．12 B．24 C．8 D．6
二、填空题
4.已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA=6，则PB=　 　．
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　 　．
6．如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为　 　．
三、解答题
7．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，求△PED的周长．
8．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
9．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD=AD+BC；
（2）求∠AOD的度数．
10．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA=10，求△PDE的周长．
（2）若∠P=50°，求∠O度数．
3.7切线长定理达标测试答案
一、选择题
1．【解析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．
2．【解析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键．
3．【解析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故选D．
【点评】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．
二、填空题
4．【解析】根据切线长定理知：PA=PB，由此可求出PB的长．
【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点；
∴PA=PB，即PB=6．
【点评】此题考查的是切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
5. 【解析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
6．【解析】根据切线长定理，可将△ADE的周长转化为AB+AC﹣BC的长，由此得解．
【解答】解：如右图；
设DE、BD、BC、CE与⊙I的切点分别为F、G、H、M，由切线长定理知：
BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；
则AG+AM=AB+AC﹣BC=11；
所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE=AG+AM=11．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，解析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
三、解答题
7．【解析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA=PB=4，同理得DC=DA，EC=EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长=PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长=PD+DA+EB+PE=PA+PB．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB=4，
∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC=DA，EC=EB，
∴△PED的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
8. 【解析】设AF=x，由切线长定理可得EF=AF=x，则FD=1﹣x，CF=CE+EF=CB+EF=1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．
【解答】解：设AF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF=AF=x，
∴FD=1﹣x，
∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2=CD2+DF2，
即（1+x）2=1+（1﹣x）2 ，
解得x=，
∴DF=1﹣x=，
∴S△CDF=×1×=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、正方形的性质、勾股定理的运用以及三角形的面积公式，题目的综合性很强，难度中等．
9．【解析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC；
（2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．
【解答】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，
∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，
∴AB+DC=AD+BC；
（2）解：连OE、ON、OM、OF，
∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，
∴△OAE≌△OAN，
∴∠OAE=∠OAN．
同理，∠ODN=∠ODF．
∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．
又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，
∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°，
∴∠AOD=180°﹣90°=90°．
【点评】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形．
10. 【解析】（1）于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长；
（2）连接OA、OC、0B，利用切线长定理即可得到∠O=∠AOB，根据四边形的内角和可得∠AOB+∠P=180°，进而求出∠O的度数．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20；
∴△PDE的周长为20；
（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO=∠EBO=90°，
∴∠P+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°﹣50°=130°
∵∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°．
【点评】此题主要考查的是切线长定理，能够发现△PDE的周长和切线PA、PB长的关系是解答此题的关键．

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