资源简介

2021春北师版九下数学3.9弧长及扇形的面积导学案
学习目标
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
学习策略
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
学习过程
一.复习回顾：
1．圆的周长公式是 。
2．圆的面积公式是 。
3．什么叫弧长？
二.新课学习：
1.探索弧长公式
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米
（2）转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米
（3）转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米
2. 探索扇形面积公式
（1）观察与思考：怎样的图形是扇形？
（2）扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
（3）讨论如何求扇形的面积？
①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少？
②圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少？
3. 比较扇形面积与弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？
4.例题分析
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)．
（1）要求管道的展直长度首先需要解决什么问题？
（2）求管道的展直长度即求哪一段弧长？
（3）你能利用已知条件和弧长公式求解吗？
例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
（1）题目中给出了哪些已知条件？
（2）这些条件能直接应用于公式吗？
（3）你能利用已知条件和扇形面积公式求解吗？
三.尝试应用：
1. (云南中考)已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为( )
A. B．2π C．3π D．12π
2. (河北中考)如图，将长为8 cm的铁丝首尾相接围成半径为2 cm的扇形，则S扇形＝____________cm2.
3. 一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2 km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20 s，弯道有一块限速警示牌，限速为40 km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？(π取3)
四.自主总结：
（1）n°的圆心角所对的弧长公式l= .
（2）n°的圆心角所对的扇形面积公式S= .
（3）半径为R，弧长为l的扇形面积S= .
五.达标测试
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（　　）
A． B． C． D．
2．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）
A． B． C．4 D．2+
3．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（　　）cm2．
A． B． C．800π D．500π
二、填空题
4．如图，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，则点O的运动路径长为 cm．（结果保留π）
5．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是 ．
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=3，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AB于点D，则的长为 ．
三、解答题
7．如图，在⊙O中，C﹑D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．
求：（1）的长；
（2）∠D的度数．
8．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
9．如图，半径为12的圆中，两圆心角∠AOB=60°、∠COD=120°，连接AB、CD，求图中阴影部分的面积．
10．如图，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=6cm．
（1）求圆的半径；
（2）求阴影部分的面积．
3.9弧长及扇形的面积达标测试答案
一、选择题
1．【解析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
【解答】解：连接OB，OC．∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
则劣弧BC的长是：=π．
故选B．
【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．
2．【解析】根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．
【解答】解：如图：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×=，
故选B．
【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．
3．【解析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：设AB=R，AD=r，则有
S贴纸=πR2﹣πr2=π（R2﹣r2）=π（R+r）（R﹣r）=（30+10）×（30﹣10）π
=π（cm2）．
故选A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟悉扇形的面积公式是解题的关键．
二、填空题
4．【解析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
5. 【解析】连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA==，∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
∵AE⊥CD，∴=，
∴===．
故答案是：．
【点评】本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．
6．【解析】半径为3，要求的长，只需求∠B的度数．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=50°，∴∠B=40°．
∵BC=3，∴的长为=．
故答案为．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、圆弧长公式等知识，其中圆弧长公式为l=．
三、解答题
7．【解析】（1）直接利用弧长公式求出即可；
（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2，
∴===；
（2）由∠AOC=130°，
得∠BOC=50°，
又∵∠D=∠BOC，
∴∠D=×50°=25°．
【点评】此题主要考查了弧长公式以及圆周角定理，熟练记忆弧长公式是解题关键．
8. 【解析】（1）利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；
（2）利用圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长可得圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出这个圆锥的高．
【解答】解：（1）设扇形的半径为R，根据题意，得 ，∴R2=900，
∵R＞0，∴R=30．
∴扇形的弧长=．
（2）设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr=20π，
∴r=10．
h==20．
答：这个圆锥的高是20．
【点评】考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的弧长=；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
9．【解析】先用扇形OAB面积﹣三角形OAB面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD面积﹣三角形OCD面积﹣上面空白部分面积，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：S扇形AOB==24π，
S△AOB==36，
则S弓形AB=24π﹣36，
S扇形COD==48π，
作OE⊥CD于点E．
则OE=OD=6，CD=2DE=2×6=12，
S△COD=OE CD=×6×12=36，
则S弓形CD=48π﹣36，
则S阴影=S弓形CD﹣S弓形AB=48π﹣36﹣（24π﹣36）=24π．
【点评】考查了组合图形的面积，本题关键是明白阴影部分的面积=扇形OCD面积﹣三角形OCD面积﹣上面空白部分面积．
10. 【解析】（1）首先判定三角形为等边三角形，即可得出圆的半径；
（2）利用扇形面积公式以及三角形面积求法计算得出即可．
【解答】解：（1）∵OA=0B，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∵AB=6cm，
∴OB=6cm，即圆的半径为6cm；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，
∵∠OAC=60°，
∴CO=AOsin60°=，
S△OAB=×2×=（cm2），
S扇形OAB==（cm2），
∴阴影部分的面积为：（﹣）cm2．
【点评】此题主要考查了学生对等边三角形的判定和扇形面积公式等知识应用，关键是得到△OAB是等边三角形．

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