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第二课时　集合的表示方法-学案
课标要求 素养要求
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 在学习过程中要注意数学素养的培养，常在集合的表示方法中用到等价转化思想和分类讨论的思想.
自主梳理
1.列举法
(1)定义
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.
(2)使用说明
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
2.描述法
(1)定义
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
(2)使用说明
①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
自主检验
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(×)
提示　集合中的元素具有互异性.
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(×)
提示　集合中的元素应为数对(1，2).
(3){x|x>2}表示大于2的全体实数.(√)
2.下列集合表示方法正确的是(　　)
A.{1，3，3}
B.{全体实数}
C.集合{x∈N|x－3<2}用列举法表示是{0，1，2，3，4}
D.不等式x2－1>0的解集表示为{x2－1>0}
答案　C
解析　选项A不符合元素的互异性；选项B中全体实数本身就是集合，不需要再加花括号；选项D用描述法表示不等式解的集合，无代表元素.
3.方程组的解集是(　　)
A.{x＝3，y＝0} B.{3}
C.{(3，0)} D.{(x，y)|(3，0)}
答案　C
解析　方程组解的形式是有序实数对，故可排除A，B，而D不是集合表示的描述法的正确形式，排除D.
4.用符号“∈”或“ ”填空.
(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
(2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；
(3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.
答案　(1) 　(2) 　(3)∈　
解析　(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1 A.
(2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3，2}，∴3 B.
(3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
∴8∈C，9.1 C.
题型一　列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合.
解　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.
思维升华　用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【训练1】　用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
解　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}.
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}.
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，
所以D＝{(1，3)}.
题型二　描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
思维升华　利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
【训练2】　下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解　(1)不是.
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，
即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以B＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值范围；
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
题型三　集合表示方法的综合应用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.
思维升华　(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
【训练3】　本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合.
解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k的值组成的集合为{k|k<1，且k≠0}.
1.表示集合的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
2.用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数，还是有序实数对，还是其他形式.
(2)元素具有怎样的属性.　　　　　　　　　

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