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1.2　集合间的基本关系-学案
课标要求 素养要求
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.
自主梳理
1.子集的相关概念
(1)子集、真子集、集合相等概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)
Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
②集合相等
一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.
③真子集的概念
如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A).
集合符号的辨析
(1)符号 ，?， ，?，＝表示集合与集合之间的关系，其中“ ”包含“?”和“＝”两种情况，同样“ ”包含“?”和“＝”两种情况.
(2)符号∈， 表示元素与集合之间的关系.　　　
(2)空集
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 .规定：空集是任何集合的子集.
2.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C：
①若A B，且B C，则A C；
②若A?B，B?C，则A?C；
③若A B，A≠B，则A?B.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)1 {1，2，3}.(×)
提示　“ ”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.
(2)任何集合都有子集和真子集.(×)
提示　空集只有子集，没有真子集.
(3) 和{ }表示的意义相同.(×)
提示　 是不含任何元素的集合，而集合{ }中含有一个元素 .
2.①0∈{0}，② ?{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}(a≠b)，上面关系中正确的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　①正确，0是集合{0}的元素；②正确， 是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，∵a≠b集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.
3.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
答案　B
解析　根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B.
4.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.
答案　－1　0
解析　由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.
题型一　集合关系的判断
角度1　概念间的包含关系
【例1－1】　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
答案　B
解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
角度2　数集间的包含关系
【例1－2】　(多选题)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　)
A. A B.－2∈A
C.{0，2} A D.A {y|y<3}
答案　ACD
解析　由题意得A＝{0，2}，且空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误，故选ACD.
思维升华　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
【训练1】　(1)我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________.
(2)已知集合A＝{x|－1A.A∈B B.A?B
C.B?A D.B A
答案　(1)N?Z?Q?R　(2)B
解析　(2)由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2 A，故有A?B.
题型二　子集、真子集个数问题
【例2】　(1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
答案　 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7
解析　集合{a，b，c}的子集有： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
(2)写出满足{3，4}?P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
解　由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
思维升华　1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有： ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三　由集合间的包含关系求参数
【例3】　(1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B A，求实数m的取值集合.
解　(1)∵B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有解得－1≤m<2，
综上得实数m的取值范围是{m|m≥－1}.
(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1，3}.
①当B＝ 时，此时m＝0，满足B A.
②当B≠ 时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B A，∴＝1或＝3，解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的取值集合为{0，1，3}.
思维升华　由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【训练3】　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B A，求a的取值范围.
解　(1)若A?B，由图可知a>2，
即a的取值范围为{a|a>2}.
(2)若B A，由图可知1≤a≤2，
即a的取值范围为{a|1≤a≤2}.
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A B的常用方法.
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ 时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
2.写已知集合的子集时，一般按照元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.
3.注意区分： ，{ }，0，{0}.　　　　　　　

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