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1.3　集合的基本运算
第一课时　并集和交集-学案
课标要求 素养要求
理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的并集和交集运算，发展学生的数学抽象和数学运算素养.
自主梳理
1.并集
(1)自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
(4)运算性质：A∪B＝B∪A，A A∪B，B A∪B，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A.
如果A B，则A∪B＝B，反之也成立.
并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x B”，“x∈B但x A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示：
　　　
2.交集
(1)自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集.
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.
(3)
图形语言：如图所示.
(4)运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ .如果A B，则A∩B＝A，反之也成立.
(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
(2)两个集合若没有公共元素，则二者的交集为 .　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A与B没有交集.(×)
提示　交集为 .
(2)若A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，则A∪B＝{1，2，1，3，4}.(×)
提示　A∪B＝{1，2，3，4}.
(3)若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B).(√)
(4)若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B).(×)
提示　不一定成立，x不一定是A，B的公共元素.
2.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
答案　B
解析　由题意可得：A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.
3.已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝(　　)
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.{x|－1＜x＜0} D.{x|1＜x＜2}
答案　A
解析　结合数轴可得P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.故选A.
4.若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1答案　{x|1≤x<4}
解析　如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}.
题型一　并集的概念及简单应用
【例1】　(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝(　　)
A.{1，2，3，4} B.{1，2，3}
C.{2，3，4} D.{1，3，4}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝(　　)
A.{x|－1≤x＜3} B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1}
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由定义知A∪B＝{1，2，3，4}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.
思维升华　求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到.
【训练1】　(1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　)
A.{0} B.{0，3}
C.{1，3，9} D.{0，1，3，9}
(2)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.
答案　(1)D　(2){x|x>0}
解析　(1)易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.
(2)A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}.
题型二　交集的概念及简单应用
【例2】　(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示.
则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}.
思维升华　求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
【训练2】　(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　　)
A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1)
C.{3，－1} D.{(3，－1)}
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)分别令3n＋2＝6，8，10，12，14，只有3n＋2＝8，3n＋2＝14有自然数解，故A∩B＝{8，14}，故选D.
(2)由得故M∩N＝{(3，－1)}.
题型三　并集、交集的运算性质及应用
【例3】　设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解　(1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得：4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，
解得：a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意.
综上所述：a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，
∵A＝{1，2}，∴B＝ 或B＝{1}或{2}或{1，2}.
若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，
解得a>3；
若B＝{1}，则即不成立；
若B＝{2}，则
即不成立；
若B＝{1，2}，则即
此时不成立.综上，a的取值范围是{a|a>3}.
思维升华　利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解.
【训练3】　已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围.
解　由A∩B＝ ，
(1)若A＝ ，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠ ，如下图：
∴
解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.　　　　　

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