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1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件-学案
课标要求 素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
自主梳理
1.充分条件与必要条件
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
(1)若p q，则p是q的充分条件.所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的，“有之必成立，无之未必不成立.”
(2)若p q，则q是p的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可，“有之未必成立，无之必不成立.”　　　
2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)
提示　不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
(2)“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)
(3)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)
(4)“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√)
2.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
答案　A
解析　当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
3.(多选题)“x2－3x＋2＝0”的充分条件是(　　)
A.x＝1 B.x＝2
C.x＝－1 D.x＝－2
答案　AB
解析　当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，所以x＝1，x＝2是“x2－3x＋2＝0”的充分条件，故选AB.
4.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案　必要
题型一　命题真假的判断
【例1】　判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解　(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1 Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
思维升华　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
【训练1】　下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________.
答案　①④
解析　①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
题型二　充分条件、必要条件的判断
【例2】　给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.
解　(1)∵两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p.
∴p是q的充分条件但不是必要条件.
(3)∵p q且q p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p q，且q p，
∴p是q的既不是充分条件，也不是必要条件.
思维升华　一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【训练2】　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
解　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)命题中p是q的充分条件.
题型三　根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】　(1)已知P＝{x|a－4(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0答案　(1){a|－1≤a≤5}　(2){a|0解析　(1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
所以即
所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件但不是必要条件，∴M?N，
∴解得0思维升华　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】　(1)若“x2或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且q是p的充分条件但不是必要条件，求a的取值范围.
解　(1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.
∴m的取值范围是{m|m≤1}.
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，
∴a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}.
1.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用

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