资源简介

1.4.2　充要条件-学案
课标要求 素养要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
自主梳理
1.逆命题
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
2.充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q.
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
(1)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价.
(2)条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系 结论
p q，且q p p是q的充分不必要条件
q p，且p q p是q的必要不充分条件
p q，且q p，即p q p是q的充要条件
p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件
　　　自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(√)
(2)四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.(√)
(3)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√)
(4)xy>0是x>0，y>0的充要条件.(×)
提示　“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分条件.
2.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案　A
解析　A＝{x|13.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
答案　B
解析　p q，但q p.
4.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
答案　充要
解析　当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
题型一　充要条件的判断与探求
角度1　定义法判断条件间的关系
【例1－1】　判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解　(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B BC>AC，
所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3 q：x2>9，所以p是q的充要条件.
角度2　递推法判断条件间的关系
【例1－2】　已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解　(1)∵q是r的必要条件，∴r q.
∵s是r的充分条件，∴s r，
∴s r q，又∵q是s的充分条件，∴q s.
∴s是q的充要条件.
(2)由r q，q s r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r p，
∴q r p.∴p是q的必要条件.
思维升华　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
【训练1】　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分又不必要条件
(3)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A (A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.
答案　(1)D　(2)A　(3)a≤9　6≤a≤9(答案不唯一)
解析　(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙 甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙 乙，但乙 丙.
综上，有丙 乙 甲，甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
(3)A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝ ，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
若A≠ ，则A B 6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
题型二　充要条件的证明
【例2】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
可得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
思维升华　一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
【训练2】　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三　充要条件的应用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.又因为m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0【迁移1】　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
【迁移2】　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　若p是q的充要条件，则m不存在.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
思维升华　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
【训练3】　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　设A＝{x|x<－2或x>3}，
B＝，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B?A，
所以－≤－2，即m≥8.
所以m的取值范围为{m|m≥8}.
1.充分、必要条件的判断有两种方法：定义法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p q证的是充分性，由q p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p q证的是必要性，由q p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.　　　　　　

展开更多......

收起↑