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1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词-学案
课标要求 素养要求
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
自主梳理
1.全称量词和全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.例如命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都相互平分”.　　　
2.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词的命题，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(√)
(2)存在量词命题“ x∈R，x2＜0”是真命题.(×)
提示　不存在x∈R，使得x2<0成立.
(3)“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)
(4) x∈R，x2＋1≥1是真命题.(√)
(5)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)
提示　是无理数，但()2＝3是有理数.
2.(多选题)下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A.有一些抛物线的开口方向向上
B.存在整数n，使n能被11整除
C.正方形的对角线相等
D. x∈M，P(x)
答案　AB
解析　A，B是存在量词命题，C，D是全称量词命题.
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
答案　C
解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.
4.若非空集合A，B满足A B，则(　　)
A.存在x0∈A，使得x0 B
B.任意x∈A，有x∈B
C.存在x0∈B，使得x0 A
D.任意x∈B，有x∈A
答案　B
解析　由子集的定义知，若A B，则对任意x∈A，有x∈B，故选B.
题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B.
解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
思维升华　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解　(1)全称量词命题.表示为 n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题. 一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题. 二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1) x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
解　(1)是全称量词命题，因为 x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
思维升华　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体如下：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】　判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2) x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3) x∈R，x2>0.
解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三　依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
解　(1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，所以解得2≤m≤3.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤3}.
(2)q为真，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m≥2，则m＋1≥3.
所以解得2≤m≤4.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}.
思维升华　根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】　命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解　因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.
所以实数b的取值范围是{b|b≥0}.
1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
3.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.　　

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