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第一章末复习提升-学案
要点一　集合的基本概念
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
【例1】　(1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1 B.3
C.5 D.9
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C.
(2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；
当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；
当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；
当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；
当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.
根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.
【训练1】　(1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是(　　)
A.1 B.3
C.4 D.6
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________.
答案　(1)C　(2)3或1
解析　(1)易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是：{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}.
(2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；
当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；
若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.
要点二　集合间的关系
集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.
【例2】　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A.1 B.2
C.3 D.4
(2)设A＝{1，4，2x}，若B＝{1，x2}，若B A，则x＝________.
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1答案　(1)D　(2)0或－2　(3){m|m≤4}
解析　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.
由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.
(2)由B A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾.
综上所述，x＝－2或x＝0.
(3)当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠ 时，若B A，如图.
则解得2综上，m的取值范围为m≤4.
【训练2】　已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B A，则实数m等于(　　)
A.3 B.2
C.2或3 D.0或2或3
答案　D
解析　当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝ ，满足B A；当m≠0时，B＝，因为B A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.
要点三　集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对 的讨论，不要遗漏.
【例3】　已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围.
解　(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3所以A∪B＝{x|2≤x<10}.
因为A＝{x|2≤x<7}，
所以 R A＝{x|x<2或x≥7}，
则( R A)∩B＝{x|7≤x<10}.
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x所以a>2，
所以a的取值范围是{a|a>2}.
【训练3】　设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1答案　－1　2
解析　∵B∪C＝{x|－3∴A?(B∪C)，∴A∩(B∪C)＝A.
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
要点四　充分条件与必要条件
充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.
【例4】　设命题p：实数x满足a0，命题q：实数x满足2(1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解　(1)由a当a＝1时，1即p为真命题时，实数x的取值范围是1又q为真命题时，实数x的取值范围是2所以，当p，q均为真命题时，
有解得2所以实数x的取值范围是{x|2(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p 綈q且綈qD /綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是{a|1【训练4】　(1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________.
(2)若－a答案　(1)－或　(2){a|a>2}
解析　(1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知p / q，q p，故a＝0舍去；
当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.
(2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－22}.
要点五　全称量词命题与存在量词命题
(1)已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.
(2)解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
【例5】　若对 x∈{x|－2解　设集合A＝{x|－2故实数a的取值范围为{a|a≥3}.
【训练5】　已知关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0的解集非空，求实数a的取值范围.
解　关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.

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