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2.2　基本不等式
第一课时　基本不等式-学案
课标要求 素养要求
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.
自主梳理
1.重要不等式
对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
2.算术平均数与几何平均数
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均数；数称为a，b的几何平均数.
3.基本不等式
(1)基本不等式
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(1)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b ＝；②仅当a＝b时取等号，即＝ a＝b.
(2)基本不等式可变形为a＋b≥2，ab≤.　　　
(2)基本不等式的证明
法一(比较法)　因为a，b都是正数，所以－＝＝≥0，即≥.而且，等号成立时，当且仅当(－)2＝0，即a＝b.
法二(几何法)　如图，
AB是圆的直径，点C是AB上的一点，且AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，由图形可以看出基本不等式≤的几何解释.
易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2＝CA·CB，即CD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即≥.
其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此，基本不等式≤的几何意义是“半径不小于半弦”.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)≥对任意实数a，b都成立.(×)
提示　只有当a>0且b>0时，≥才能成立.
(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(√)
(3)若a>0，b>0，则ab≤.(√)
2.下列不等式成立的是(　　)
A.ab≤ B.ab≥
C.a＋b≥2 D.a＋b≤2
答案　A
解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A.
3.(多选题)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　)
A.> B.<
C.> D.>
答案　ABD
解析　由a>b>0，得<，即>，所以<1，即<，故选ABD.
4.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).
①＋≥2；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
答案　③
解析　根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确.
题型一　与基本不等式有关的比较大小问题
【例1】　设0A.aC.a<答案　B
解析　法一　∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<思维升华　利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
【训练1】　比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
答案　≥
解析　＝＋≥2，当且仅当＝.即x＝0时，等号成立.
题型二　用基本不等式证明不等式
角度1　无附加条件的不等式证明
【例2－1】　已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
角度2　有附加条件的不等式证明
【例2－2】　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
证明　＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
思维升华　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
【训练2】　已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
证明　因为a，b，c全不相等，
所以与，与，与全不相等，
所以＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得，＋＋＋＋＋>6，
所以＋＋>3，
即＋＋>3.
题型三　利用基本不等式直接求最值
【例3】　(1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值.
解　(1)∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号.
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
(3)∵x>0，a>0，∴4x>0，>0，
4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36.
思维升华　在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
【训练3】　已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　)
A.16 B.25
C.9 D.36
答案　B
解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
1.利用基本不等式：≤解决问题注意其应用前提条件是a>0，b>0.
2.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.　　　　　　　

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