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2022届高考数学一轮复习 第二章　基本初等函数
第7讲　函数的单调性与最值
第1课时　函数的单调性
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)＝，则f(x)的增区间为(　　)
A. (－∞，1]　 B. [3，＋∞)
C. (－∞，－1] D. [1，＋∞)
2. 若函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)
A. y＝在R上为减函数
B. y＝|f(x)|在R上为增函数
C. y＝2－f(x)在R上为减函数
D. y＝－[f(x)]3在R上为增函数
3. (2020·济南评估)已知函数f(x)＝若f(a2－4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－4,1)　　 B. (－∞，－4)∪(1，＋∞)
C. (－1,4)　　 D. (－∞，－1)∪(4，＋∞)
4. (2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)A. B. (－∞，－3)
C. (－3，＋∞)　 D.
二、 多项选择题
5. (2020·南宁期末)若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A. a＝1，b＞ B. 0＜a≤1，b＝2
C. a＝－1，b＝2 D. a＝，b＝1
6. 若函数f(x)满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0；②对于定义域内任意x1，x2都有f≥成立，则称其为G函数．下列函数为G函数的是(　　)
A. f(x)＝3x＋1
B. f(x)＝－2x－1
C. f(x)＝x2－2x＋3
D. f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)
三、 填空题
7. 若函数f(x)为R上的减函数，则满足f8. 已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若对定义域内任意x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(2)＝1，则使不等式f(x)＋f(x－3)≤2成立的x的取值范围是________．
9. 已知函数f(x)＝－x，那么f＋f＝________，f(x)＋f(1－2x)≤1的解集为________．
四、 解答题
10. 已知f(x)＝(x≠a)．
(1) 若a＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2) 若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
11. 已知定义在R上的函数f(x)满足当x>0时，f(x)>1，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)f(y)，若f(1)＝2.
(1) 求f(2)的值；
(2) 求证：对任意x有f(x)>0恒成立且f(x)在R上是增函数；
(3) 解不等式f(2－x)>4.
B. 滚动小练
12. 若p：x>1，q：|x|>1，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
13. (2020·潍坊期末)(多选)设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A. ac2>bc2 B. <
C. a－c>b－c D. e－a14. 已知a，b，c∈R，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象经过点(0,1)，且f(x)>0的解集为.
(1) 求实数a，b的值；
(2) 若方程f(x)＝kx＋7在(0,2)上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
第2课时　函数的最值
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. 若x>0，则函数f(x)＝＋3x的最小值是(　　)
A. 6　　　 B. 8
C. 10　　　 D. 12
2. 已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　)
A. 　 B.
C. 2　 D. 4
3. 已知函数f(x)＝若f(2)＝4，且函数f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A. (1，]　　　 B. (1,2]
C. 　　　 D. [，＋∞)
4. (2020·黄石一模)定义新运算?：当a≥b时，a?b＝a；当aA. －1 B. 1
C. 6 D. 12
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A. f(x)在(2,6)上单调递增
B. f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2
C. f(x)在(2,6)上无最小值
D. f(x)的图象关于直线x＝4对称
6. 若定义在区间D上的函数y＝f(x)满足：对 x∈D， M∈R，使得|f(x)|≤M恒成立，则称函数y＝f(x)在区间D上有界，则下列函数中有界的是(　　)
A. y＝sin x
B. y＝x＋
C. y＝
D. y＝x3＋ax2＋bx＋1(－4≤x≤4)，其中a，b∈R
三、 填空题
7. (2020·广州期末)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
8. 已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则＝________.
9. (2020·皖东名校联考)若函数f(x)＝的值域是[e－1，＋∞)，其中e是自然对数的底数，则实数m的最小值是________．
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
11. 已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3) 若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定实数a的取值范围．
B. 滚动小练
12. 若命题“ x0∈R,2x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
13. 若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式＋4>m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________．
14. 已知函数f(x)＝(b∈R)为奇函数．
(1) 求b和f＋f(2log2)的值；
(2) 判断并用定义证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
第7讲　函数的单调性与最值
第1课时　函数的单调性
A. 课时精练
1. B　2. C
3. D　【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)为增函数，由f(a2－4)>f(3a)，得a2－4>3a，即a2－3a－4>0，解得a<－1或a>4.故选D.
(第3题)
4. D　【解析】 依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋(－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a>，故选D.
5. ABD　【解析】 根据题意，函数f(x)＝＝＝＋，其定义域为.若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有a>0，－≤－2且3－＜0，即0＜a≤1且b>a，据此分析选项：A，B，D符合．故选ABD.
6. AD　【解析】 对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0，则函数f(x)在定义域内为增函数；对于定义域内任意x1，x2都有f≥成立，则函数f(x)为“凸函数”．对于A，f(x)＝3x＋1在R上为增函数，且f＝，故满足条件①②；对于B，f(x)＝－2x－1在R上为减函数，不满足条件①；对于C，f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，不满足条件①；对于D，f(x)＝－x2＋4x－3图象的对称轴为x＝2，故函数f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.
7. (－1,0)∪(0,1)
8. (3,4]　【解析】 因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以x＞3.又f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f(x)＋f(x－3)＝f(x2－3x)，2＝f(2)＋f(2)＝f(4)，所以f(x)＋f(x－3)＝f(x2－3x)≤f(4)，所以解得3＜x≤4，所以x的取值范围是(3,4]．
9. 1　(－∞，1]　【解析】 因为f(x)＋f(－x)＝－x＋＋x＝1，所以f＋f＝1.由f(x)＋f(1－2x)≤1，即f(x)＋f(1－2x)≤f(x)＋f(－x)，即f(1－2x)≤f(－x)，而y＝f(x)为减函数，所以1－2x≥－x，解得x≤1.
10. 【解答】 (1) 当a＝－2时，任取x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2) 任取1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤1.
综上所述，a的取值范围是(0,1]．
11. 【解答】(1) f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝2×2＝4.
(2) 令x＝1，y＝0，则f(1)＝f(1)·f(0)，所以f(0)＝1.
当x<0时，－x>0，f(x)·f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，其中f(－x)>1，所以f(x)>0，故对任意x有f(x)>0恒成立．
设x1，x2∈R，且x10，所以f(x2－x1)>1.由f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)>f(x1)，所以f(x)在R上是增函数．
(3) 因为f(2)＝4，所以f(2－x)>4即f(2－x)>f(2)．由(2)知2－x>2 x<0，所以原不等式的解集为(－∞，0)．
B. 滚动小练
12. A
13. CD　【解析】 对于A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，故A错误．对于B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，故B错误．对于C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确．对于D，因为a>b －a<－b，又y＝ex为增函数，故e－a14. 【解答】(1) 因为f(x)的图象经过点(0,1)，所以c＝1，
所以f(x)＝ax2＋bx＋1，
f(x)＝ax2＋bx＋1>0的解集为，
所以
解得a＝－6，b＝1.
(2) 由(1)知f(x)＝－6x2＋x＋1，
则方程f(x)＝kx＋7等价于方程6x2＋(k－1)x＋6＝0，
令g(x)＝6x2＋(k－1)x＋6，即g(x)的两个零点满足x1，x2∈(0,2)，
所以即
解得－14所以实数k的取值范围是(－14，－11)．
第2课时　函数的最值
A. 课时精练
1. D　2. C
3. D　【解析】 由f(2)＝4，得m＝－2，即f(x)＝由函数f(x)存在最小值，得解得a≥.故选D.
4. C　【解析】 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当15. BCD　【解析】 f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝f(4)＝2ln 2，f(x)在(2,6)上无最小值．故选BCD.
6. ACD　【解析】 因为|sin x|≤1，所以y＝sin x为有界函数；≥2，无上界，所以B不是有界函数；y＝＝＝1－，因为0<<2，所以－1<1－<1，即|y|<1，所以y＝是有界函数；函数y＝x3＋ax2＋bx＋1为实数上的连续函数，所以在区间[－4,4]上一定有最大值和最小值，所以是有界函数．故选ACD.
7. 　【解析】 当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当08. 　【解析】 由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，由题意知y＞0，则y2＝4＋2·＝4＋2，当x＝－1时，y取得最大值M＝2；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以＝.
9. －1　【解析】 当x≥e时，(x－ln x)′＝1－>0，此时函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，值域是[e－1，＋∞)．当x10. 【解答】 (1) 因为f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min＝0，
所以＝0，所以a＝－1或.
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，解得－1≤a≤，
所以g(a)＝2－a|a－1|＝
当－1≤a≤1时，g(a)＝a2－a＋2＝2＋，所以g(a)∈；
当1所以函数g(a)＝2－a|a－1|的值域是.
11. 【解答】 (1) 由x＋－2>0，得>0.
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01＋}．
(2) 设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3) 对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
所以a>3x－x2，x∈[2，＋∞)．
设h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，
则h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2，
即实数a的取值范围是(2，＋∞)．
B. 滚动小练
12.
13. (－2,8)　【解析】 因为＋＝1，所以＋4＝(＋4)＝4＋＋＋4≥8＋2＝16，当且仅当x＝16y，即y＝4且x＝64时取等号．因为＋4>m2－6m恒成立，所以16>m2－6m，解得－214. 【解答】 (1) 因为函数f(x)＝为奇函数，
所以对 x∈R，都有 f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
解得b＝0，所以 f(x)＝，
所以f＋f＝f＋f＝0.
(2) f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
证明如下：
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为00，(x＋4)(x＋4)>0，
当x>2时，x1x2－4>0，>0，
即f(x1)>f(x2)，此时f(x)单调递减．
当0即f(x1)所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．

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