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2022届高考数学一轮复习 第二章　基本初等函数
第8讲　函数奇偶性与周期性、对称性
第1课时　函数奇偶性的判定与周期性
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. (2020·洛阳期中)下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A. y＝xsin x B. y＝x2－cos x
C. y＝tan x＋ D. y＝sin x＋cos x
2. 若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))的值为(　　)
A. 15　 B. 10
C. －10　 D. －15
3. 若f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x＋a，则f(－2)等于(　　)
A. －5 B. －7
C. 5 D. 7
4. (2021·浙江期中)用列表法将函数f(x)表示为如下表所示，则(　　)
x －2 －1 0
f(x) －1 0 1
A. f(x＋1)为奇函数 B. f(x＋1)为偶函数
C. f(x－1)为偶函数 D. f(x－1)奇函数
二、 多项选择题
5. (2020·岳阳期中)对于函数f(x)＝ax3＋bsin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能的是(　　)
A. 2和5 B. 3和8
C. 4和12 D. 5和16
6. 已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)
A. f(x)可能是偶函数 B. f(x)可能是奇函数
C. f(x)＝f(x＋1) D. f(x＋3)是奇函数
三、 填空题
7. 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
8. (2021·鄂州名校联考)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)>0的解集为________．
9. (2021·启东中学)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，则f(0)＝________，f(x)的解析式为________．
四、 解答题
10. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
11. (2021·福州期中)设函数f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝.
(1) 求f(x)与g(x)的解析式；
(2) 求f＋f＋f＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值．
B. 滚动小练
12. (多选)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A. a2＋b2≥8 B. ≥
C. ≥2 D. ＋≤1
13. (多选)下列命题中正确的是(　　)
A. “x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件
B. 定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值为5
C. 命题“ x＞0，都有x＋≥2”的否定是“ x0≤0，使得x0＋＜2”
D. 已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为[0,1]
正确命题的个数为(　　)
A. 1个　 B. 2个　
C. 3个　 D. 4个
14. 已知f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 当ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
第2课时　函数性质的综合应用
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. (2020·宁德模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A. y＝x3 B. y＝|x|＋1
C. y＝－x2＋1 D. y＝2－|x|
2. 若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A. －2 B. 0　
C. 1 D. 2
3. (2020·鹰潭二模)若偶函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 020)等于(　　)
A. 2 B. 0
C. －1 D. 1
4. (2020·永州三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝－eax(其中e是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a的值为(　　)
A. －3 B. 3
C. － D.
二、 多项选择题
5. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A. 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B. f(4)＝0
C. f(x＋8)＝f(x)
D. 若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝－1
6. 已知函数f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则下列结论正确的有(　　)
A. f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝0
B. 直线x＝－5是函数y＝f(x)图象的一条对称轴
C. 函数y＝f(x)在[－7,7]上有5个零点
D. 函数y＝f(x)在[－7，－5]上为减函数
三、 填空题
7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当18. (2021·海安中学)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
9. 已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：① x1，x2∈[4,8]，当x10；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 025)，则a，b，c的大小关系是________．
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝.
(1) 判断f(x)在(－2,2)上的单调性，并用定义证明；
(2) 解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
11. (2020·宿迁期末)已知函数g(x)＝，x∈(－1,1)，从下面三个条件中任选一个，求a，b的值，并解答．①已知函数f(x)＝b＋，且f(2－x)＋f(x＋2)＝0；②已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)在[1,2]上的值域为[2,4]；③已知函数f(x)＝x2－ax＋4，且f(x＋1)在区间[b－1，b＋1]上为偶函数．
(1) 判断g(x)在(－1,1)上的单调性；
(2) 解不等式g(t－1)＋g(2t)＜0.
B. 滚动小练
12. (2020·泰安模拟)已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　　)
A. (－∞，1) B. (－∞，－1)
C. (－∞，－1)∪(－1,0) D. (－∞，－1)∪(－1,1)
13. (2020·福州期末)若x，y∈R，则是成立的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 已知命题：“ x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题．
(1) 求实数m的取值集合B；
(2) 设不等式x2－(4a＋2)x＋3a2＋6a＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
第8讲　函数奇偶性与周期性、对称性
第1课时　函数奇偶性的判定与周期性
A. 课时精练
1. D
2. D　【解析】 由题意得当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，所以f(x)＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x，所以f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.
3. B　【解答】 根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x＋a，则有f(0)＝log24＋a＝0，解得a＝－2.则当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x－2，则f(2)＝log2(4＋4)＋3×2－2＝7.又由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－7，故选B.
4. D　【解答】 根据题意，对于函数f(x)，其定义域为{－2，－1,0}，有f(－2)＝－1，f(－1)＝0，f(0)＝1，对于y＝f(x＋1)，其定义域为{－3，－2，－1}，不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；对于y＝f(x－1)，其定义域为{－1,0,1}，且f(－1－1)＝f(－2)＝－1，f(0－1)＝f(－1)＝0，f(1－1)＝f(0)＝1，为奇函数，故D正确，C错误．故选D.
5. ABD
6. ABD　【解答】 因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以函数f(x)关于点(1,0)及点(－1,0)对称，则f(x)可为奇函数，例如f(x)＝sin(πx)；也可以为偶函数，例如y＝cos，故选项A，B正确；又因为函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数，故选项C错；因为f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x＋3)，所以f(x＋3)是奇函数，故选项D正确．
7. 1
8. (5，＋∞)　【解析】 因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.
9. 0　f(x)＝　【解析】 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x>0时，f(x)＝x|x－2|，所以设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|－x－2|＝x|x＋2|，所以f(x)＝
10. 【解答】(1) 因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2) 因为x∈[2,4]，所以－x∈[－4，－2]，
所以4－x∈[0,2]，
所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
因为f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
11. 【解答】 (1) 根据题意，f(x)＋g(x)＝，
则f(－x)＋g(－x)＝＝.
又f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
则f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝，
联立两式解得f(x)＝，g(x)＝.
(2) 由(1)的结论，f(x)＝，
则f＝＝，
则有f(x)＋f＝＋＝1，
则f＋f＋f＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＝3.
B. 滚动小练
12. AB
13. ABD　【解析】 对于A，x2＞1 x＞1或x＜－1，所以“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件，故A正确；对于B，因为f(x)为偶函数，所以a＝－5，因为定义区间为[a，b]，所以b＝5，因此f(x)＝x2＋5，其最小值为5，故B正确；对于C，命题“ x＞0，都有x＋≥2”的否定是“ x0＞0，使得x0＋＜2”，故C错误；对于D，由条件得所以所以x∈[0,1]，故D正确．
14. 【解答】 (1) 由题设可知，a<0且－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两个根，
所以－＝－1，－1－b＝－6，解得a＝－3，b＝5，所以f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2) 因为a<0，ax2＋bx＋c≤0的解集为R，
所以b2－4ac≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－，
故c的取值范围为.
第2课时　函数性质的综合应用
A. 课时精练
1. B　2. A　3. D
4. B　【解析】 由已知可知，f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 020－ln 2)＝f(－ln 2)＝－f(ln 2)＝ealn 2＝2a＝8，解得a＝3.
5. BCD　【解析】 根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又由函数f(x＋2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数．对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D正确．
6. ABD　【解析】 根据题意，函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0.对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x＝2时，有f(0)＝2f(2)＝0，则f(2)＝0，则f(2－x)＝f(x)，即x＝1是f(x)图象的一条对称轴．又f(x)为奇函数，则f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数．当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则函数f(x)在区间[0,1]上为增函数．又f(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[－1,1]上为增函数．对于A，f(x＋2)＝－f(x)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，A正确；对于B，x＝1是f(x)图象的一条对称轴，且f(x)是周期为4的周期函数，则x＝5是f(x)图象的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点，分别为－6，－4，－2，0,2,4,6，C错误；对于D，f(x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，则函数f(x)在[－5，－3]上为增函数，又由x＝－5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数f(x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．
7. 1
8. (－3,2)　【解析】 因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－39. b10. 【解答】 (1) 根据题意，函数f(x)＝是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝＝，解得a＝1，
故f(x)＝，x∈(－2,2)．
f(x)在(－2,2)上单调递增，证明如下：
任取－2则f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为x2－x1＞0,4＋x1x2＞0,4－x＞0,4－x＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在(－2,2)上单调递增．
(2) 因为f(x)为奇函数，所以－f(x)＝f(－x)，
不等式f(t－1)＋f(t)＜0可化为f(t－1)＜－f(t)，
即f(t－1)＜f(－t)．
又f(x)在(－2,2)上是增函数，
所以解得－1＜t＜，
所以关于t的不等式的解集为.
11. 【解答】 若选①，函数f(x)＝b＋，
且满足f(2－x)＋f(x＋2)＝0，
则f(x)关于点(2,0)成中心对称，
即a＝2，b＝0.
若选②，函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)在[1,2]上的值域为[2,4]．
若a＞1，则两式作差得a2－a－2＝0，得a＝2或a＝－1(舍去)，此时b＝0；
若0＜a＜1，则两式作差得a2－a＋2＝0，此时无解．
若选③，函数f(x)＝x2－ax＋4，且f(x＋1)在区间[b－1，b＋1]上为偶函数，
则b－1＋b＋1＝0，得b＝0，
f(x＋1)是偶函数，图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于x＝1对称，即－＝1，得a＝2.
综上，①②③的答案相同，都为a＝2，b＝0，则
g(x)＝＝，x∈(－1,1)，且g(x)是奇函数．
(1) 设－1＜x1＜x2＜1，
则g(x1)－g(x2)＝－＝＝＝＝.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，
则g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2)，所以g(x)在(－1,1)上单调递增．
(2) 因为g(x)是奇函数，且在(－1,1)上单调递增，
所以不等式g(t－1)＋g(2t)＜0等价于g(t－1)＜－g(2t)＝g(－2t)，
所以即所以0即不等式的解集为.
B. 滚动小练
12. D　13. A
14. 【解答】 (1) 由 x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立，
得x2－x－m<0在－1≤x≤1上恒成立，
所以m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}＝(2，＋∞)．
(2) 不等式x2－(4a＋2)x＋3a2＋6a＝(x－3a)(x－a－2)<0，
当3a>2＋a，即a>1时，A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
所以2＋a≥2，此时a>1.
当3a＝2＋a，即a＝1时，A＝ ，满足题设条件．
当3a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
所以3a≥2，此时≤a<1.
综上可得a∈.

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