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2022届高考数学一轮复习 第二章　基本初等函数
第9讲　二次函数与幂函数
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. 函数y＝－x2的单调增区间为(　　)
A. (－∞，0] B. [0，＋∞)
C. (0，＋∞) D. (－∞，＋∞)
2. 已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A. [0,4] B.
C. D.
4. (2021·福州调研)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　　)
A. 0　　　　 B. 2　　　　
C. －　　　　 D. －3
二、 多项选择题
5. (2021·南通中学)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴方程为x＝－1，则下列四个结论中正确的是(　　)
(第5题)
A. b2>4ac　　　 B. 2a－b＝1
C. a－b＋c＝0　　　 D. 5a6. (2021·广东实验中学)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　)
A. a<1
B. 若x1x2≠0，则＋＝
C. f(－1)＝f(3)
D. 函数f(|x|)有四个零点
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是________．
8. (2020·石家庄模拟)若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
9. 已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是________．
四、 解答题
10. 已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1) 求m的值；
(2) 当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
11. 已知函数f(x)＝x2－kx＋3.
(1) 若f(x)在[－2,2]上存在单调减区间，求k的取值范围；
(2) 从下面三个函数①g(x)＝mx＋5－m；②h(x)＝2x－m；③r(x)＝log2(3－x)－m中任选一个补充在下列问题中，若m存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
问题：当k＝0时，若对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(2x1)＝k(x2)成立．(其中k(x)是所选的函数)
B. 滚动小练
12. 若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(1)A. f(0)f(1)
C. f(2)f(0)
13. (多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋2)＝f(x－1)，已知当x∈时，f(x)＝1－x，则下列说法正确的是(　　)
A. 3是函数f(x)的周期
B. 函数f(x)在上单调递减，在上单调递增
C. 函数f(x)的最大值为，最小值为0
D. 当x∈时，f(x)＝－2－x
14. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足p(t)＝其中t∈N.
(1) 求p(5)，并说明p(5)的实际意义；
(2) 若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(单位：元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
第9讲　二次函数与幂函数
A. 课时精练
1. A　2. B
3. D　【解析】 二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象如图所示，可得m∈.
(第3题)
4. C　【解析】 设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则g(x)≥0在上恒成立，即a≥－在上恒成立．又h(x)＝－在上单调递增，故当x＝时，h(x)max＝h，所以a≥－，即a≥－.
5. AD　【解析】 因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；图象的对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由图象的对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a6. ABC　【解析】 因为f(x)＝x2－2x＋a有两个零点，故判别式Δ＝(－2)2－4a>0 a<1，故A正确．由x1＋x2＝2，x1x2＝a，故＋＝＝，故B正确．因为f(－1)＝3＋a，f(3)＝3＋a，所以f(－1)＝f(3)，故C正确．当a＝0时，y＝f(|x|)＝|x|2－2|x|＝0 |x|(|x|－2)＝0，有三个根，x＝0，±2，故D错误．
7.
8. [－2,0]　【解析】 当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，若此时φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，则≤0，即m≤0；当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，若此时φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，则－≤1，即m≥－2.综上，实数m的取值范围是[－2,0]．
9. [1，]　【解析】 由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，又f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤.
10. 【解答】 (1) 依题意得(m－1)2＝1 m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.
(2) 由(1)得，f(x)＝x2，
当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)，
g(x)∈[2－k,4－k)，即B＝[2－k,4－k)．
若p是q成立的必要条件，则B A，
则即得0≤k≤1，
故实数k的取值范围是[0,1]．
11. 【解答】 (1) 由题意可知函数f(x)图象的对称轴为x＝，
要使函数f(x)在[－2,2]上存在单调减区间，
则>－2，则k>－4.
(2) 若选择①g(x)＝mx＋5－m.
因为x1∈[1,2]，所以2≤2x1≤4.
令t＝2x1，则2≤t≤4，
则f(2x1)＝f(t)＝t2＋3，所以7≤f(t)≤19.
因为对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，
所以g(x2)的值域应该包含区间[7,19]．
当m＝0时，g(x2)＝5不合题意，所以m≠0.
当m>0时，即解得m≥14.
当m<0时，即解得m≤－7.
综上，存在m∈(－∞，－7]∪[14，＋∞)满足题意．
若选择②g(x)＝2x－m，则g(x)＝2x－m在[－1,2]上的值域为，
所以应该有无解，所以不存在满足题意的m.
若选择③g(x)＝log2(3－x)－m，则g(x)在[－1,2]上的值域为[－m,2－m]，
所以应该有无解，所以不存在满足题意的m.
B. 滚动小练
12. B
13. AB　【解析】 对于A，函数f(x)对任意的x∈R恒有f(x＋2)＝f(x－1)，变形可得f(x＋3)＝f(x)，则3是函数f(x)的周期，A正确．对于B，当x∈时，f(x)＝1－x＝2x－1，则f(x)在区间上为增函数．又f(x)为偶函数，则f(x)在区间上为减函数，又由f(x)的周期为3，则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，B正确．对于C，f(x)在区间上的最小值为f(0)＝，最大值为f＝，又由f(x)的周期为3，则函数f(x)的最大值为，最小值为，C错误．对于D，当x∈时，x－3∈，有f(x－3)＝2x－3－1＝2x－4，D错误．
14. 【解答】 (1) p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.
(2) 因为y＝－10，
所以当5≤t<10时，y＝－10＝110－，
由函数图象(图略)得函数y＝110－在区间[5,6]上单调递增，在区间[6,10)上单调递减，所以当t＝6时，y取得最大值38.
当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10,20]上单调递减，
则当t＝10时，y取得最大值28.4.
综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．

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