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2022届高考数学一轮复习 第二章　基本初等函数
第10讲　指数式与指数函数
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. (2021·南通联考)如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y，则y等于(　　)
A. 　 B. 　
C. 　 D.
2. (2020·枣庄期末)已知函数f(x)＝ax＋1－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则mn等于(　　)
A. B.
C. D.
3. 二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有(　　)
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 0个
4. 已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，若x>0时，1A. 0C. 1二、 多项选择题
5. (2021·佛山一中)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的定义域为R
B. 函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C. 方程f(x)＝x有且只有一个实根
D. 函数f(x)的图象是中心对称图形
6. 如图，某湖泊的蓝藻面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　)
(第6题)
A. 蓝藻面积每个月的增长率为100%
B. 蓝藻每个月增加的面积都相等
C. 第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2
D. 若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3
三、 填空题
7. 化简：0.001－－0＋16＋(·)6＝________.
8. 函数f(x)＝x－x＋1在[－3,2]上的值域是________，单调增区间为________．
9. 若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
四、 解答题
10. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1) 求a，b的值；
(2) 用定义法证明f(x)在R上为减函数；
(3) 若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围.
11. (2021·温州模拟)设函数f(x)＝4x－m·2x(x∈R)．
(1) 当m≤1时，判断函数f(x)在区间(0,1)内的单调性，并用定义加以证明；
(2) 记g(x)＝lg f(x)，若g(x)在区间(0,1)上有意义，求实数m的取值范围．
B. 滚动小练
12. 设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
13. 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，乙上、下山的速度都是(v1＋v2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上、下山所用时间之比为________；甲、乙两人上、下山所用时间之和最少的是________(填甲或乙)．
14. (2021·成都期中)已知不等式ax2＋x＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
(1) 求a，c的值；
(2) 若不等式ax2＋2x＋4c＞0的解集为A，不等式3ax＋cm＜0的解集为B，且A B，求实数m的取值范围．
第10讲　指数式与指数函数
A. 课时精练
1. D　2. D　3. C
4. C　【解析】 因为当x>0时，11.因为当x>0时，bx0时，x>1，所以>1，所以a>b，所以15. ACD　【解析】 函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)的图象关于点对称，所以D正确．
6. ACD　【解析】 由图可知，函数y＝at的图象经过点(1,2)，即a1＝2，则a＝2，所以y＝2t.因为2t＋1－2t＝2t不是常数，所以蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A正确，B错误；当t＝6时，y＝26＝64>60，C正确；若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1, t2, t3，则2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则2t1·2t2＝2×3，即2t1＋t2＝6，则t1＋t2＝t3，D正确．
7. 89　【解析】 0.001－－0＋16＋(·)6＝－－1＋(24)＋(2·3)6＝10－1＋23＋(23·32)＝9＋8＋8×9＝89.
8. 　[1,2]　【解析】 因为x∈[－3,2]，令t＝x，则t∈，y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57，所以函数的值域为.又t＝x为减函数，y＝t2－t＋1的减区间为，由≤x≤，得1≤x≤2，所以f(x)的单调增区间为[1,2]．
9. 　【解析】 方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|的图象与y＝2a有两个交点．当0＜a＜1时，如图(1)，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；当a＞1时，如图(2)，而y＝2a＞1，不符合要求．所以0＜a＜.
　　
图(1) 图(2)
(第9题)
10. 【解答】 (1) 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2) 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为x1＜x2，所以2x2－2x1＞0.
又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x)为R上的减函数．
(3) 因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，
所以f(t2－2t)＜－f(2t2－k)．
因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)．
因为f(x)为减函数，所以t2－2t＞k－2t2，
即k＜3t2－2t恒成立．
因为3t2－2t＝32－≥－，所以k＜－.
11. 【解答】 (1) 当m≤1时，函数f(x)在区间(0,1)内为增函数．
设0由于0又m≤1，则2x1＋2x2－m>0，
则(2x1－2x2)(2x1＋2x2－m)<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)则函数f(x)在区间(0,1)内为增函数．
(2) 由于g(x)在区间(0,1)上有意义，
则f(x)>0，即4x－m·2x>0在(0,1)上恒成立，
即m<2x在(0,1)上恒成立，
由于2x∈(1,2)，则有m≤1.
B. 滚动小练
12. A　【解析】 因为所以x＋y＞2，即p q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q / p．故p是q的充分不必要条件．
13. 　乙　【解析】 设上山路程为1，则甲上、下山所用时间为＋＝，乙上、下山所用时间为2·＝，所以甲、乙两人上、下山所用时间之比为＝.因为v1≠v2，所以>＝，<＝，所以>，即乙上、下山所用时间之和最少．
14. 【解答】 (1) 因为不等式ax2＋x＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，
所以1,3是方程ax2＋x＋c＝0的两根，且a＜0，
所以
解得a＝－，c＝－.
(2) 由(1)得a＝－，c＝－，
所以不等式ax2＋2x＋4c＞0化为－x2＋2x－3＞0，解得2＜x＜6，所以A＝{x|2＜x＜6}．
又3ax＋cm＜0，即x＋m＞0，
解得x＞－m，所以B＝{x|x＞－m}.
因为A B，所以－m≤2，即m≥－2，
所以m的取值范围是[－2，＋∞)．

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