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2022届高考数学一轮复习 第二章　基本初等函数
第13讲　函数与方程
A. 课时精练
一、 单项选择题
1. 方程lg x＋2x＝3的解所在区间为(　　)
A. (0,1) B. (1,2)
C. (2,3) D. (3,4)
2. (2020·青岛模拟)若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A. (1,3)　 B. (1,2)　
C. (0,3)　 D. (0,2)
3. 方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)
A. 1　 B. 2　
C. 3　 D. 4
4. (2021·株洲月考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有3个不同的零点，则实数k的取值可能是(　　)
A. －1 B.
C. 1 D. 2
6. 已知函数f(x)＝则以下结论正确的是(　　)
A. f(2 020)＝0
B. 方程f(x)＝x－1有3个实根
C. 当x∈[4,6)时，f(x)＝|x－5|－1
D. 若函数y＝f(x)－t在(－∞，6)上有8个零点xi(i＝1,2,3，…，8)，则if(xi)的取值范围为(－16,0)
三、 填空题
7. 函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数是________．
8. 已知函数f(x)＝若方程f(x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
9. (2021·日照模拟)若定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则函数F (x)＝f(x)－的所有零点之和为________．
四、 解答题
10. (2021·保定摸底)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x＋1.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 讨论函数g(x)＝f(x)－mx零点的个数．
11. 已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点(0,2)，对称轴为x＝－，函数f(x)在R上的最小值为.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 当x∈[m－2，m]，m∈R时，求函数f(x)的最小值(用m表示)；
(3) 若函数F(x)＝f(x)－ax在(0,3)上只有一个零点，求a的取值范围．
B. 滚动小练
12. (2021·汕头期中)若关于x的不等式2x2－8x－4＋a≤0在1≤x≤3内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|a≤12} B. {a|a≥12}
C. {a|a≤10} D. {a|a≥10}
13. 已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，则下列不等关系正确的是(　　)
A. f(c)>f(b)>f(a) B. f(c)>f(a)>f(b)
C. f(b)>f(a)>f(c) D. f(b)>f(c)>f(a)
14. 已知函数f(x)＝ .
(1) 若f(x)的定义域为，求实数a的值；
(2) 若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
第13讲　函数与方程
A. 课时精练
1. B　2. C　
3. B　【解析】 因为a>0，所以a2＋1>1.作出y＝|x2－2x|的图象如图所示，所以y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，即方程有2个解．
(第3题)
4. C　【解析】 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)．因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ.又函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
5. BC　【解析】 当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，所以x＝－1(正根舍去)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，则可作出函数f(x)的图象如图所示．当x<0时，f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，故当k∈(0,2)时，y＝f(x)－k有3个不同的零点．
(第5题)
6. ACD　【解析】 f(2 020)＝f(2 018)＝…＝f(0)＝f(－2)＝|－2＋1|－1＝0，故A正确．作出直线y＝x－1及f(x)＝的图象如图所示，故f(x)＝x－1有4个根，故B错误．当x∈[4,6)时，f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝f(x－6)＝|x－6＋1|－1＝|x－5|－1，故C正确．如图，y＝f(x)－t有8个零点，即y＝f(x)与y＝t有8个交点，此时if(xi)＝ti＝t[(－1)×2＋1×2＋3×2＋5×2]＝16t.又t∈(－1,0)，故16t∈(－16,0)，即if(xi)的取值范围为(－16,0)，故D正确．
(第6题)
7. 3　【解析】 由题意知cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]上的零点个数为3.
8. [3，＋∞)　【解析】 由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f(x)与y＝kx－2的图象，如图所示．当直线y＝kx－2过点(1,1)时，k＝3.结合图象知，当k≥3时，直线与y＝f(x)的图象有两个交点．
(第8题)
9. 　【解析】 由题意知，当x<0时，f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示．设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0.令－＝，解得x3＝，所以函数F (x)＝f(x)－的所有零点之和为.
(第9题)
10. 【解答】 (1) 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋4x＋1＝x2＋4x＋1.
由f(x)为奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，
所以x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x－1.
当x＝0时，f(0)＝0，
则f(x)＝
(2) 由g(x)＝f(x)－mx，
又f(x)为奇函数，y＝－mx也为奇函数，可得g(x)为奇函数．可令g(x)＝0，即f(x)＝mx，
当x＝0时，显然g(x)＝0，无论m取何值，x＝0均为g(x)的零点．
当x>0时，由f(x)＝mx，即x2－4x＋1＝mx，可得m＝x＋－4，作出y＝x＋－4的图象，如图所示．
(第10题)
当m＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有1个零点；
当m>－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有2个零点；
当m<－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上无零点．
根据奇函数的对称性可得，
当m＝－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有3个零点；
当m>－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有5个零点；
当m<－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有1个零点．
11. 【解答】 (1) 设函数f(x)＝a(x－h)2＋k，
由f(x)图象的对称轴为x＝－，函数f(x)在R上的最小值为，
得f(x)＝a2＋，将(0,2)代入f(x)得a＝1，
故f(x)＝2＋.
(2) f(x)图象的对称轴为x＝－，
当m<－时，f(x)在[m－2，m]上单调递减，
所以f(x)min＝f(m)＝2＋.
当－≤m≤时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝f＝.
当m>时，f(x)在[m－2，m]上单调递增，
故f(x)min＝f(m－2)＝2＋.
综上，f(x)min＝
(3) 若函数F(x)＝f(x)－ax在(0,3)上只有一个零点，
则f(x)的图象和直线y＝ax在(0,3)上只有1个交点．
当a≤0时，显然y＝f(x)和y＝ax在(0,3)上没有交点，
当a>0时，只需y|x＝3≥f(3)即可，
即3a≥14，解得a≥，
故a的取值范围是.
B. 滚动小练
12. A　【解析】 原不等式2x2－8x－4＋a≤0化为a≤－2x2＋8x＋4.设函数y＝－2x2＋8x＋4，其中1≤x≤3，其图象的对称轴为x＝2，则当x＝2时，函数y＝－2x2＋8x＋4取得最大值为12，所以a≤12.
13. C　【解析】 偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，则f(a)＝f(tan 2)＝f[tan(－2)]＝f[tan(π－2)]，f(b)＝f(tan 3)＝f[tan(－3)]＝f[tan(π－3)]，f(c)＝f(tan 5)＝f[tan(－5)]＝f[tan(2π－5)]，易知0<π－3<π－2<2π－5<，故0f(a)>f(c)．
14. 【解答】 (1) f(x)的定义域为，
即(1－a2)x2－(1－a)x＋2≥0的解集为，
故解得a＝2.
(2) f(x)的定义域为R，即(1－a2)x2－(1－a)x＋2≥0恒成立．
当1－a2＝0，即a＝±1时，经检验a＝1满足条件；
当1－a2≠0时，解得a∈.
综上，a∈.

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