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2022届高考数学一轮复习 第二章　基本初等函数
第14讲　数学建模——函数的模型及其应用
一、 单项选择题
1. 已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5 730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过________年，质量可放射消耗到0.125克(　　)
A. 5 730 B. 11 460
C. 22 920 D. 45 840
2. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A. y＝2x－2 B. y＝(x2－1)
C. y＝log2x D. y＝logx
3. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
4. (2021·厦门模拟)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3成正比．当v＝1 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890，则当v＝2 m/s时，其耗氧量的单位数为(　　)
A. 2 670 B. 7 120
C. 7 921 D. 8 010
二、 多项选择题
5. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系f(x)＝
(第5题)
则下列说法正确的是(　　)
A. 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B. 第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多
C. 9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D. 26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
6. (2020·烟台期末)为了预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝x－a(a为常数)，则(　　)
(第6题)
A. 当0≤x≤0.2时，y＝5x
B. 当x＞0.2时，y＝x－0.1
C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
三、 填空题
7. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量m(单位：kg)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s.
8. (2020·福州三模)“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到k月份(2＜k＜8且k∈N)，每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从k＋1月份到9月份不再增加新的生产线．计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加________条熔喷布生产线．(参考数据：1.18≈2.14,1.19≈2.36)
9. (2021·天一中学)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/100 kg.
四、 解答题
10. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1) 下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．
(2) 当人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，当人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少．
11. 近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p与投入a(单位：万元)满足p＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1) 当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；
(2) 试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
第14讲　数学建模——函数的模型及其应用
1. B　【解析】 由题可知，碳14的半衰期为5 730年，则过5 730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11 460年后，质量可消耗到0.125克．故选B.
2. B　【解析】 由题表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知选B.
3. B　【解析】 把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1＋rT，可得r＝0.38，所以I(t)＝e0.38t，当t＝0时，I(0)＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln 2，解得t＝≈1.8.故选B.
4. C　【解析】 v与log3成正比，比例系数设为k，可得v＝klog3.当v＝1时，Q＝890，即有1＝klog38.9，即k＝log8.93，则当v＝2时，2＝klog3，即2＝log8.93·log3＝log8.9，则＝8.92，可得Q＝7 921，故选C.
5. ABC　【解析】 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1＜x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)＝＋×26－＞，故D错误．
6. AD　【解析】 当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.2k，故k＝5，故A正确；当x＞0.2时，把(0.2,1)代入y＝x－a 可得0.2－a＝1，所以a＝0.2，故B错误；令x－0.2＜0.25，即3x－0.6<2，所以3x－0.6＞2，解得x>，故C错误，D正确．故选AD.
7. e6－1　【解析】 当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.
8. 5　【解析】 依题意得，企业甲从2020年1月到9月的需求量为＝1 000×(1.19－1)≈1 360 (吨)，易知，企业乙增加1条熔喷布生产线，不符合题意；依题意，当企业乙增加k－1(2＜k＜8且k∈N ) 条熔喷布生产线时，从2020年1月到9月的“熔喷布“产量为k＋50(k＋1)(9－k)＝－25k2＋475k＋450，所以－25k2＋475k＋450－1 360≥990，即k2－19k＋76≤0.记f(k)＝k2－19k＋76，则f(k)在(2,8)上为减函数．又因为f(5)＝52－19×5＋76＝6＞0，f(6)＝62－19×6＋76＝－2＜0，所以k的最小值为6，所以企业乙至少需要增加5条生产线．
9. 120　80　【解析】 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得解得所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
10. 【解答】 (1) 用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2) 因为当人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，当人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x，x∈[0.5，8]．
因为y＝－x2＋x＝－2＋，
所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，是 L.
11. 【解答】 (1) 当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，此时公司总收益为
f(x)＝4－6＋×112＋2＝88 (万元)．
(2) 若甲城市的投入为x万元，则乙城市投资240－x万元，
当80≤240－x≤120，即120≤x≤160时，f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝4－x＋56，
所以f′(x)＝2·－＝.
令f′(x)＝0，则x＝128，
所以f(x)在[120,128]上单调递增，在(128,160]上单调递减，所以f(x)max＝f(128)＝88.
当120＜240－x≤160，即80≤x＜120时，f(x)＝4－6＋32＝4＋26，
所以f(x)在[80,120)上单调递增，
所以f(x)max＜f(120)＝16＋26，
因为88＞16＋26，
所以该公司在甲城市投资128万元，在乙城市投资112万元时，总收益最大为88万元．

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