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2021秋北师版九下数学1.6利用三角函数测高导学案
学习目标
1. 能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
2.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.
学习策略
1.经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对实验数据的处理能力.
2.学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识.
学习过程
一.复习回顾：
1、什么是仰角？什么是俯角？
2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
二.新课学习：
活动一：设计活动方案，自制仪器
（1）测倾器（或测角仪、经纬仪等）有哪几部分构成？
（2）制作测角仪时应注意什么？
（3）小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤.
活动二：测量倾斜角
（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M.
（2）转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．
（3）这样做的依据是什么？
活动三：测量底部可以到达的物体的高度．
要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图）
（1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α．
（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l．
（3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN的高度．
在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME
=tana·EC=l·tanα．又因为NE=AC=a，所以MN=ME+EN=l·tanα+a．
活动四：测量底部不可以到达的物体的高度．
（1）你们能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？
（2）需要用到哪些工具？（工具尽可能简单、尽可能少）
（3）需要测量哪些数据？（数据尽可能方便、尽可能少）
（4）根据测量数据，如何计算物体的高度？
要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE=α．
（2）在测点A与物体之间的B处安置测角仪（A、B与N都在同一条直线上），此时测得M的仰角∠MDE=β．
（3）量出测角仪的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b
（4）根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度.
解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ，
在Rt△MCE中，EC =ME/tanα，∴EC-ED=b，
∴
∴
∴
三.尝试应用：
1. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（ ）.
A.a米 B. C. D. a (tanβ- tanα)
2. 如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米
3. 如图，为庆祝元旦节日，阴平中学在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求：学校主楼的高度(精确到0.01m).
四.自主总结：
1. 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ，当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 .
2. 简单的测倾器由 、 和 组成.
3.
五.达标测试
一、选择题
1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（　　）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
2.如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（　　）
A．CD=b sin33°+a B．CD=b cos33°+a
C．CD=b tan33°+a D．CD=
3.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）
A．47m B．51m C．53m D．54m
二、填空题
4. 如图小明在楼上点A处测得旗杆BC顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面高AD为12m，旗杆的高度为 m．
5.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
6. 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是 m．
三、解答题
7．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．
8．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，己知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，≈1.732）
9．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．当飞机在离地面高度CE=1500m时，测量人员从C处测得A、B两点处的俯角分别为60°和45°．
求隧道AB的长（≈1.732，结果保留整数）．
10．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
1.6利用三角函数测高达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．
【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，
∴=tanα，
∴BC=AC tanα=6tanα（米）．
故选；D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
2．【解析】在直角三角形CAE中，利用BD的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得CE的长，再由CD=CE+ED即可求解．
【解答】解：由题意则AE=BD，即AE=b．
在直角△AEC中，∠ACE=33°，
CE=AEtan33°=btan33°．
则CD=CE+ED=btan33°+a．
故选C．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题主要利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
3. 【解析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD sin60°=60×=30≈51（m）．
故选B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
二、填空题
4．【解析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ACE中，已知了CE的长，可利用俯角∠CAE的正切函数求出AE的值；进而在Rt△ABE中，利用仰角∠BAE的正切函数求出BE的长；BC=BE+CE．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E．
∵AD∥CE，
∴Rt△ACE中，CE=AD=12m，∠CAE=60°，
∴AE=CE÷tan60°=4．
Rt△AEB中，AE=4，∠BAE=30°，
∴BE=AE tan30°=4．
BC=BE+CE=4+12=16．
故答案为：16米．
【点评】本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．
5．【解析】过M作东西方向的垂线，设垂足为N．由题易可得∠MAN=30°，在Rt△MAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可．
【解答】解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．
易知：∠MAN=90°﹣60°=30°．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，
∴AN=AM cos∠MAN=100×=50海里．
故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
故答案为50．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键．
6．【解析】设AB=x，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，再由CD=20米，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：设AB=x，
在Rt△ABC中，∠C=30°，
则BC==x，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
则BD==x，
由题意得，x﹣x=20，
解得：x=10．
即建筑物AB的高度是10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
三、解答题
7．【解析】过点C作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是矩形，再由CD=12m，∠ECB=45°可知BE=CE=12m，由AE=CE tan30°得出AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作AB 的垂线，垂足为E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∵CD=12m，∠ECB=45°，
∴BE=CE=12m，
∴AE=CE tan30°=12×=4（m），
∴AB=4+12≈19（m）．
答：建筑物AB的高为19米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．【解析】由i的值求得大堤的高度AE，点A到点B的水平距离BE，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．
【解答】解：延长MA交直线BC于点E，
∵AB=30，i=1：，
∴AE=15，BE=15，
∴MN=BC+BE=30+15，
又∵仰角为30°，
∴DN===10+15，
CD=DN+NC=DN+MA+AE=10+15+15+1.5≈17.32+31.5≈48.8（m）．
【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．
9．【解析】首先利用tan60°=，求出AE的长，再利用tan∠CBE=，进而得出BE的长，进而求出AB的长即可．
【解答】解：根据题意，可知∠CBE=45°，∠CAE=60°，
在Rt△AEC中，tan∠CAE=，即tan60°=，
∴AE===500．
在Rt△BEC中，tan∠CBE=，
即tan45°=，
∴BE==1500．
∴AB=BE﹣AE=1500﹣500≈1500﹣866=634（m），
答：隧道AB的长约为634m
【点评】此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出AE与BE的长是解题关键．
10．【解析】首先过P作PC⊥AB，垂足为C，进而求出PC的长，利用tan37°=，得BC的长，即可得出答案．
【解答】解：过P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60°，∠BPC=37°，
且由题意可知：AC=120米．
在Rt△APC中，由tan∠APC=，
即tan60°=，得PC==40．
在Rt△BPC中，由tan∠BPC=，
即tan37°=，得BC=40×0.75≈51.9．
因此AB=AC﹣BC=120﹣51.9=68.1，
即大楼AB的高度约为68.1米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．

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