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2021秋北师版九下数学1.5.2仰角与俯角问题导学案
1．了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义．
2．将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．
将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念．
实际情景和平面图形之间的转化．
一、创设情景　明确目标
(1)让学生熟练写出直角三角形中的边与角之间的关系：(①三边之间，②角之间，③锐角三角函数)
(2)仰角与俯角
①如图：
②定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．
二、自主学习　指向目标
阅读教材第19页中想一想的内容，完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究　达成目标
　仰角、俯角的实际问题
活动：出示幻灯动画，动画内容如下：
小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)．
(1)你能完成这个任务吗？
(2)请与同伴交流你是怎么想的？
(3)准备怎么去做？
展示点评：实物图可以建立成两个直角三角形模型，已知在Rt△ACD中，AC＝CD·tan30°，同理BC＝CD·tan60°，于是AC－BC＝AB，可以得到关于CD与已知量的关系，即可求出CD的长．
解答如下：
解：如图，根据题意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，AB＝50m.
设CD＝x m，则∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，
∵tan∠ADC＝，tan∠BDC＝，
∴AC＝xtan60°，BC＝xtan30°，
∴xtan60°－xtan30°＝50.
∴x＝＝＝25≈43(m).
所以，该塔约有43m高．
反思小结：仰角、俯角的问题上的类型题，首先要据题意建立直角三角形模型，充分利用三角函数来解决此类实际问题．
针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．
四、总结梳理　内化目标
本节课学习了解决实际问题的重要方法：实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．并且了解了仰角，俯角的概念．
五、达标测试
一、选择题
1．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC的顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB＝12米，则旗杆的高度为(　　)
A．6 米 B．6米 C．12 米 D．12米
2．如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离为(　　)
A．50 m B．100 m C．(100＋)m D．100 m
3．某校数学兴趣小组用测量仪器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图35－K－3)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为(　　)
(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)
A．34米 B．38米 C．45米 D．50米
4．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对“超然楼”的高度进行了测量，如图35－K－4，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°.若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD约为(　　)
A．47 m B．51 m C．53 m D．54 m
5．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，≈1.414) (　　)
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
二、填空题
6．如图，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为45°，那么船与观测者之间的水平距离为________m.
7．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别是30°，45°.如果此时热气球C处的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，那么A，B两点的距离是________m．(结果保留根号)
8．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为________m．(结果保留根号)
9．某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图35－K－9，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为________m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.48，结果保留整数)
三、解答题
10．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．
(参考数据，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41)
11．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于某山顶的雕像高度．如图35－K－11，已知坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5 m，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620 m到达点E，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度.
达标测试答案
1．C　
2．D
3．C
4．[解析] B　根据题意，得∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC－∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A，∴BD＝AB＝60 m，
∴CD＝BD·sin60°＝60×＝30 ≈51(m)．
故选B.
5．[解析] C　设BB′交DC于点C′，则BC′＝，B′C′＝.∵BB′＝BC′－B′C′，∴－＝20，解得DC′≈34.14米，DC≈34.14＋1.6≈35.7(米)．
6．120
7．[答案] 100(＋1)
[解析] 由题意，知∠A＝30°，∠B＝45°.AD＝＝100 m，BD＝CD＝100 m，故AB＝AD＋BD＝100(＋1)m.
8．[答案] (5＋5 )
[解析] 设过点C的水平线与AB交于点E，则△ACE和△BCE都是直角三角形．∵∠ACE＝45°，∠BCE＝30°，∴AE＝CE，CE＝BE.易知四边形BECD为矩形，∴BE＝CD＝5 m，AE＝CE＝5 m，∴AB＝AE＋BE＝(5＋5 )m.
9． [答案] 191
[解析] 根据题意，得∠CAD＝45°，∠CBD＝56°，AB＝62 m．在Rt△ACD中，易得AD＝CD.在Rt△BCD中，可得BD＝，即可得AB＝AD－BD＝CD－＝62，继而求得答案．
10．解：在Rt△ABC中，∵cosα＝，
∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)．
在Rt△BDF中，∵sinβ＝，
∴DF＝BD·sinβ＝600×＝300 ≈300×1.41＝423(m)．
又∵EF＝BC＝156 m，
∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．
11．解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G.
在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，
∴EG＝DE·sinD＝1620×＝810.
又∵BC＝857.5，CF＝EG，
∴BF＝BC－CF＝47.5.
在Rt△BEF中，
∵tan∠BEF＝，∠BEF＝∠D＝30°，
∴EF＝BF.
在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设AB＝x.∵tan∠AEF＝，∴AF＝EF·tan∠AEF，
即x＋47.5＝×47.5×，解得x＝95.
答：雕像AB的高度为95 m.

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