资源简介

2021秋北师版九下数学1.1.1锐角三角函数导学案
学习目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系；
2.能用表示直角三角形中两直角边的比，表示物体的倾斜程度和坡度（坡比）等；
3.能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算。
学习策略
1. 通过正切函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；
2. 通过正切函数的学习，逐步培观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力；
3. 通过正切函数的学习，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
学习过程
一.复习回顾：
1.在Rt△ABC中，∠B=53°，∠C=90°， 则∠A= ；
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，AB=26cm，则AC= ；
3.在△ABC中，BC=7cm， AC=24cm，AB=25cm，则△ABC是 三角形。
二.新课学习：
请你阅读课本P2至P4，然后完成以下问题：
1.比较梯子的倾斜程度
（1）如图，这里摆放的三对梯子，比较每对梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？
（2）分别求出每幅图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？
2. 如图1-4，小明想通过测量及，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量及 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
（1）和有什么关系？
（2）和有什么关系？
（3）如果改变在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？
3.正切是如何定义的？
4.梯子的倾斜程度与的值有什么关系？
5.例1:如图1－5表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
（1）tan和tan的值分别是多少？
（2）你能比较tan和tan的大小吗？
（3）根据的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？
6.坡度是如何定义的？
三.尝试应用：
1如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
2. 在△ACB中，∠B = 90°，若BC = 6，AB = 8，则tanC= _ , tanA = .
3. 已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值.
四.自主总结：
1.
2. 的值越 ，梯子越陡
3. 坡面与水平面的夹角称为 ；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为 .
五.达标测试
一、选择题
1.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（　　）
A． B．2 C． D．
2. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C．2 D．
3. 在直角坐标系xOy中，点P（4，y）在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是（　　）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
二、填空题
4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，tanA=2，则BC=　 　．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则tanA=　 　．
6. 如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为（3，4），则tan∠1的值为 　．
三、解答题
7．在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，tanA=，求AC的长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）若AC=3，AB=5，求tan∠BCD．
（2）若BD=1，AD=3，求tan∠BCD．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标．
10．已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=1，
∴BC==2，
则tanA==2，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
2. 【解析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：连接BD．
则BD=，AD=2，
则tanA===．
故答案是D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
3．【解析】如图，由于点P（4，y）在第四象限内，所以OA=4，又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，所以tan∠AOP=2，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，∵点P（4，y）在第四象限内，
∴OA=4，PA=﹣y
又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，
∴tan∠AOP=2，∴=2，
∴﹣y=2×4，∴y=﹣8．
故选D．
【点评】此题主要考查了三角函数的定义，也考查了数形结合的思想，解题时首先利用数形结合的思想利用坐标表示线段的长度，然后利用三角函数的定义列出方程即可解决问题．
二、填空题
4．【解析】根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：∵tanA=，
∴BC=AC tanA=5×2=10．
故答案是：10．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
5.【解析】根据勾股定理求出AC的长，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AB=10，
∴AC==8，
∴tanA==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【解析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：
tan∠1==，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
三解答题
7. 【解析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切可得=，再代入BC=8cm进行计算即可．
【解答】解：∵tanA=，
∴=，
∵BC=8cm，
∴AC=6cm．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正切的定义．
8. 【解析】（1）根据直角三角形的性质得到∠BCD=∠A，根据正切的定义解答；
（2）根据相似三角形的判定定理证明△BCD∽△CAD，根据相似三角形的性质求出CD，根据正切的定义解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，
则tanA==，
∴tan∠BCD=；
（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△BCD∽△CAD，
∴=，
∴CD2=3，
解得，CD=，
tanA==，
∴tan∠BCD=．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9. 【解析】（1）根据正切的定义，对边与相邻的斜边的比，即可求解；
（2）根据图形，确定旋转以后的位置，可以直接写出坐标．
【解答】解：（1）tan∠BOA===；
（2）点C的坐标是（﹣2，4）．
【点评】本题主要考查了正切的定义以及图形的旋转，正确理解定义是解题的关键．
10. 【解析】首先证明∴△ACD≌△BCE，则根据tan∠ADC=tan∠BEC即可求解．
【解答】解：根据题意可得，AC=BC=，CD=CE=，AD=BE=5，（3分）
∴△ACD≌△BCE．（4分）
∴∠ADC=∠BEC．
∴tan∠ADC=tan∠BEC=．（5分）
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，注意三角函数值的大小是有角度的大小确定的，据此即可把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个角的三角函数值．

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