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2021秋北师版九上数学6.2.2案反比例函数的性质导学案
【学习目标】
1探索并掌握反比例函数的主要性质，并能运用它解决问题。
2 提高从函数图象中体会信息的能力。
3积极投入，以探索反比例函数的性质为载体，进一步体会分类讨论的数学思想。
【学习策略】
1. 通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质的理解和掌握。
2.鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．
学习过程
一.复习回顾：
下列函数中，哪些是反比例函数？
（1） （2） （3） （4） （5）
2. 你能想到的图象吗？它是什么形状？有什么特点？呢？
二.新课学习：
内容1：试一试
观察反比例函数，，的图象，你能发现它们的共同特征吗
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
下面用类推的方法来研究y＝-，y＝-,y=-的图象
有哪些共同特征
(1)y=-，y=-，y=-中的k都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.
(2)在图象y=-中，在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，y1>y2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.
(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
结论： 反比例函数y＝的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
3.想一想
(1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系 为什么
在下面的图象上进行探讨.
[生]设P(x1,y1)，过P点分别作x轴，y轴的平行线，与
两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜.
∵(x1,y1)在反比例函数y＝图象上，所以y1＝，即x1y1＝k.
∴S1＝｜k｜.
同理可知S2＝｜k｜，
所以S1＝S2
[师]从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，
如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢
[生]S1＝｜x1y1｜=｜k｜，
S2=｜x2y2｜=｜k｜.
[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2.
三.尝试应用：
1 已知M（2，）N是双曲线两点，则与的大小关系是 ，理由是
2 在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是
3 一次函数与反比例函数的图象如图所示，判断下列说法是否正确：
①它们的函数值随着的增大而增大
②它们的函数值随着的增大而减小
③
④它们的自变量的取值为全体实数
四.自主总结：
1.反比例函数y＝的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，值的增大而减小；当k2.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2.
五.达标测试
一．选择题（共5小题）
1．已知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（　　）
A．﹣2＜y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣4＜y＜0 D．0＜y＜1
3．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
5．已知反比例函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围在数轴上应表示为（　　）
A． B． C． D．
　二．填空题（共4小题）
6．函数y=中，若x＞1，则y的取值范围为　　，若x＜3，则y的取值范围为　　．
7．双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　．
8．已知反比例函数y=（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是　　（写一个即可）．
9．如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为　　．
三．解答题（共3小题）
10．已知反比例函数，其中k＞﹣2，且k≠0，1≤x≤2．
（1）若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　　；
（2）若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值．
11．在双曲线y=的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围．
12．如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若S△AOM=3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
　
达标测试答案：
一．选择题（共5小题）
1．【解析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．
解：在反比例函数y=中k=6＞0，
∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，
当x=3时，y==2；当x=1时，y==6．
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
∴y的最小整数值是3．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出反比例函数y=在1＜x＜3中y的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质得出该反比例函数的单调性是关键．　
2．【解析】首先利用待定系数法可得反比例函数解析式，再画出反比例函数图象，求出当x=2时y的值，然后结合图象可得答案．
解：设反比例函数的关系式为y=，
∵图象经过点（﹣2，4），
∴k=﹣8，
∴y=﹣，
∴x=﹣，
当x=2时，y=﹣4，
结合图象可得当x＞2时，﹣4＜y＜0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．
　3．【解析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1﹣k＞0即可．
解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得k＜1．
故选A．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
　4．【解析】反比例函数y=（k≠0，k为常数）中，当k＞0时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小判定则可．
解：∵k=2＞0，
∴函数为减函数，
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内，
∴y2＜0＜y1；
故选B．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
5．
【解析】根据反比例函数的性质得3﹣m＞0，然后解不等式即可．
解：∵反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，
∴3﹣m＞0，
∴m＜3．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．　
二．填空题（共4小题）
6．【解析】根据反比例函数的增减性确定y的取值范围即可．
解：∵y=中k=6＞0，
∴在每一象限内y随着x的增大而减小，
当x=1时y=6，当x=3时y=2，
∴当x＞1，则y的取值范围为0＜y＜6，当x＜3时y的取值范围为y＜0或y＞2
故答案为：0＜y＜6；y＜0或y＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是弄清反比例函数的增减性，难度不大．　
7．【解析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：∵双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出反比例系数k的取值范围是关键．　
8．【解析】利用反比例函数的性质得到k＜0，然后在此范围内取一个值即可．
解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k可取﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．　
9．【解析】由A，B为双曲线上的两点，利用反比例系数k的几何意义，求出矩形ACOG与矩形BEOF面积，再由阴影DGOF面积求出空白面积之和即可．
解：∵点A、B是双曲线y=上的点，
∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6，
∵S阴影DGOF=2，
∴S矩形ACDF+S矩形BDGE=6+6﹣2﹣2=8，
故答案为：8
【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．　
三．解答题（共3小题）
10．【解析】（1）根据函数的单调性结合反比例函数的性质即可得出k＜0，再由k的取值范围即可得出结论；
（2）分反比例函数单减和单增两种情况考虑，根据最大值与最小值的差是1，可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：（1）∵y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∵k＞﹣2，且k≠0，
∴﹣2＜k＜0．
故答案为：﹣2＜k＜0．
（2）当﹣2＜k＜0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，
∴，
解得k=﹣2，不合题意，舍去；
当k＞0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，
∴，
解得k=2．
综上所述：若该函数的最大值与最小值的差是1，k的值为2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据反比例函数的性质找出k的取值范围；（2）分情况考虑，找出关于k的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k结合反比例函数的性质找出函数的单调性是关键．　
11．【解析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1﹣k的符号，再求出k的取值范围即可．
解：∵y都随x的增大而增大，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，解答此题的关键是根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质解答即可．　
12． 【解析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△AOM=|k|，则|k|=3，解得k=±6，再根据反比例函数的性质得到k＜0，所以k=﹣6．
解：∵S△AOM=|k|，
而S△AOM=3，
∴|k|=3，解得k=±6，
∵反比例函数的图象在第二象限内，
∴k=﹣6，
∴该反比例函数的解析式为y=﹣（x＜0）．
【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
　

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