资源简介
中小学教育资源及组卷应用平台
专题五 平面向量与复数
01 平面向量的概念及线性运算
考纲对本模块内容的具体要求如下:
平面向量也是高考的必考点,平面向量的线性运算是其中一个重要的考向,复习时,我们要重点掌握:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
数学抽象:1.理解共线向量、相等向量的概念.
2.能从教材实例中抽象出向量的概念,了解向量加法的物理意义与几何意义.
数学运算:理解向量线性运算的意义及运算法则,会进行向量的线性运算.
直观想象:1.理解向量的有关概念及向量的几何表示,能作出相应的向量.
2.掌握向量加法、减法运算,并理解其几何意义.
一、向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μ a)=(λμ) a;(λ+μ)a=λa+μ a;λ(a+b)=λa+λb
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
[常用结论]
1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).
2.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
3.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和 ( http: / / www.21cnjy.com )等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+An-1An=,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.21cnjy.com
4.与非零向量a共线的单位向量为±.
考点一 平面向量的概念
(1)(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.向量的模是一个正实数
【答案】A
【分析】
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质,即可判断各选项的正误.
【详解】
A:与的长度相等,方向相反,正确;
B:两个有共同起点且长度相等的向量,若方向也相同,则它们的终点相同,故错误;
C:零向量的方向任意,故错误;
D:向量的模是一个非负实数,故错误.
故选:A
(2)(2021·全国高二课时练习)(多选)下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.四边形是平行四边形的充要条件
D.模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
【答案】CD
【分析】
A.由单位向量的定义判断;B.由零向量的定义判断;C.由相等向量的定义判断; D.由零向量的定义判断.21·世纪*教育网
【详解】
A.单位向量的模均相等且为1,但方向并不一定相同,故错误;
B.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的,故错误;
C. 若四边形是平行四边形,则一组对边平行且相等,有,
若,则,则四边形是平行四边形,故正确;
D.由零向量的规定,知正确.
故选:CD
【规律方法】
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,不要与线段的共线、平行混为一谈.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.
【跟踪练习】(1)给出下列命题:
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;
③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中真命题的序号是________.
【答案】 ③
【解析】 ①错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;2-1-c-n-j-y
②错误,若b=0,则a与c不一定共线;
③正确,因为=,所以||=||且∥;又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;【来源:21cnj*y.co*m】
④错误,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件;【出处:21教育名师】
⑤错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.
故填③.
(2)(2021·全国高一课时练习)给出下列命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】
根据相反向量的定义即可判断A;由向量不能比较大小即可判断B;根据共线向量的定义即可判断C;当时,即可判断D.21*cnjy*com
【详解】
解:因为,则向量互为相反向量,所以,故①正确;
因为向量不能比较大小,故②错误;
若,则向量方向相同,故③正确;
当时,向量的方向不能确定,故④错误.
所以正确命题的个数是2个.
故选:C.
(3)(2021·全国高二专题练习)下列命题正确的是( )
A.若与共线,与线,则与共线
B.向量,,共面,即它们所在的直线共面
C.若∥,则存在唯一的实数λ,使=λ
D.零向量是模为0,方向任意的向量
【答案】D
【分析】
假设为零向量,可判断选项A;
根据向量的特征,可判断选项B;
根据向量共线定理,可判断选项C;
根据零向量的定义,可判断选项D.
【详解】
由于零向量与任意向量共线,所以若为零向量,则与关系不确定,A错;
因为向量是可以平行移动的,因此向量共面时,它们所在的直线不一定共面,B错;
共线向量定理中,当不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使=λ,否则λ可能不存在,C错;
根据零向量的定义可知,零向量的模为0,方向是任意的,D显然正确.
故选:D.
考点二 平面向量的线性运算
(1)(2021·武功县普集高级中学高三开学考试(文))如图所示,已知,,,,则( )【版权所有:21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
以,为基底,根据向量的线性运算求解即可.
【详解】
,
故选:A
(2)(2021·河南高三月考(文))已知的三个内角分别为,,,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
【答案】A
【分析】
利用正弦定理变形向量等式,再利用向量加法、向量减法的意义即可判断作答.
【详解】
在中,令线段BC的中点为M,由正弦定理得:,
由得:,
即,而,,则,
于是得与同向共线,而它们有公共起点,即动点P的轨迹是射线AM(除A点外),又重心在线段AM上,
所以动点的轨迹一定经过的重心.
故选:A
(3)(2021·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考)已知△ABC中,点D在边AB上,且,设,,那么等于________(结果用、表示)
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据以及进行线性运算,由此可求得的表示.
【详解】
因为,
所以,
故答案为:.
【规律方法】
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则 ( http: / / www.21cnjy.com )和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
【跟踪练习】(1)(2022·江苏高三专题练习)在中,为的中点,为边上的点,且,则___________21·cn·jy·com
【答案】
【分析】
由平面向量的线性运算即可求解.
【详解】
如图,可知
.
故答案为:
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)(2021·全国高一课时练习)①化简:.
②已知向量为,未知向量为向量,满足关系式,求向量.
【答案】① ;② ,.
【分析】
①利用向量的加减、数乘运算化简即可.
②联立题设向量的线性关系式,可得关于的线性表达式,进而求关于的线性表达式.
【详解】
①.
②由①,②,
∴①+②,得,代入①得,即.
∴,.
考点三 向量共线定理及其应用
(2021·全国高三专题练习)设两个非零向量与不共线,
(1)若,,,求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使和共线.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)转化为证明向量,共线,即可证明三点共线;
(2)由共线定理可知,存在实数λ,使,利用向量相等,即可求解的值.
【详解】
(1)证明:,,,
,共线,
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)和共线,
∴存在实数λ,使,
即,.
,是两个不共线的非零向量,
,.
【规律方法】
共线向量定理的三个应用
(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.
(2)证明三点共线:若存在实数λ,使则A,B,C三点共线.
(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
易错警示:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
【跟踪练习】 (1)已知向量 ( http: / / www.21cnjy.com )e1与e2不共线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是( )21教育名师原创作品
A.mn=1 B.mn=-1
C.m+n=1 D.m+n=-1
【答案】 A
【解析】因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得=λ,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得所以mn=1.
(2)(2020·上海高三专题练习)设,,是三个非零向量,且与不共线,若关于的方程有两个实根,,则( )
A. B. C. D.,大小不确定
【答案】B
【分析】将两根分别代入方程作差化简为,由已知分析即可得结果.
【详解】因为关于的方程,有两个实根,,
所以,,把两个等式相减可得:,即.
因为,,是三个非零向量,且与不共线,所以,,所以.故选:B
(3)(2021·江苏盐城中学高三其他模拟)设,是两个不共线的平面向量,若,,且与共线,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
由向量共线列方程,求出k.
【详解】
由与共线,即,
所以有=,
所以,消去
可得,则.
故选:C.
1.(2021·山东高考真题)如下图,是线段的中点,设向量,,那么能够表示为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由向量的线性运算,可得解
【详解】由题意,.
故选:B
2.(2020·海南高考真题)在中,D是AB边上的中点,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选:C
3.(2020·山东高考真题)已知平行四边形,点,分别是,的中点(如图所示),设,,则等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算,即可得到答案;
【详解】
连结,则为的中位线,
,
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选:A
4.(2021·广州市天河外国语学校高三月考(理))已知为非零向量,“”为“”的( )
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以;
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
5.(2021·广东省高三二模(文))已知A,B,C三点不共线,且点O满足则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵,∴,整理得.
6.(2021·河南省高三其他(理))设,分别为等差数列,的前n项和,且.设点A是直线外一点,点P是直线上一点,且,则实数的取值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,,分别为等差数列,的前n项和,且,
不妨取,,
当时,,
当时,,
验证得当时上式成立,综上数列的通项公式为,
同理可得,数列的通项公式为,
则,
又由点P在直线上,设,,即,.
7.(2021·全国高三二模)已知向量和不共线,向量,,,若 三点共线,则( )www.21-cn-jy.com
A.3 B.2 C.1 D.
【答案】A
【分析】
根据A、B、D共线的条件得到,进而得到,根据平面向量基本定理中的分解唯一性,得到关于的方程组,求解即得.【来源:21·世纪·教育·网】
【详解】
因为 三点共线,
所以存在实数λ,使得,
,
所以,
∴,解得.
故选:A.
8.(2021·全国(文))在中,,分别为边,上的点,,,与交于点,设,,则___________.(用,表示)
【答案】
【分析】
用,表示,再用向量共线表示出,并由求出,再由求出,然后由与共线即可得解.
【详解】
如图,在中,依题意,,,
( http: / / www.21cnjy.com / )
因与交于点,则,于是得,,
,,
因,而与不共线,从而有,解得,
所以.
故答案为:
9.(2021·全国高二课时练习)下列命题中正确的是______.
①空间向量与是共线向量,则,,,四点必在一条直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形是平行四边形的充要条件是;
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件.
【答案】④⑤
【分析】
根据共线向量的概念,以及单位向量、零向量的定义,以及充分条件、必要条件的判定方法,逐项判定,即可求解.21教育网
【详解】
由共线向量即为平行向量,只要求两个向量方向相同或相反即可,并不要求两个向量,在同一条直线上,所以①不正确.www-2-1-cnjy-com
由单位向量的模均相等且为1,但方向并不一定相同,所以②不正确.
零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的,所以③不正确,.
若,可得且,所以四边形为平行四边形,
当时若为平行四边形,可得,所以④正确.
由模为0是一个向量为,其中的方向时不确定的,所以⑤正确.
故答案为:④⑤.
10.(2022·全国高三专题练习)等边三角形中,,AD与BE交于F,则下列结论正确的是( )21*cnjy*com
A. B.
C. D.
【答案】AC
【分析】
可画出图形,根据条件可得出为边的中点,从而得出选项A正确;
由可得出,进而可得出,从而得出选择B错误;
可设,进而得出,从而得出,进而得出选项C正确;
由即可得出,从而得出选项D错误.
【详解】
如图,
( http: / / www.21cnjy.com / )
,为的中点,,A正确;
,,
, B错误;
设,且,,三点共线,
,解得,
,C正确;
,D错误.
故选:AC
11.(2022·全国高三专题练习)(多选)给出下列命题,不正确的有( )
A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
B.若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形
C.的充要条件是||=||且
D.已知λ,μ为实数,若λ=μ,则与共线
【答案】ACD
【分析】
A错误,两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;
B正确,=,分析得到四边形ABCD为平行四边形;
C错误,||=||且不是=的充要条件,而是必要不充分条件;
D错误,当λ=μ=0时,满足λ=μ,但与不一定共线.
【详解】
A错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;
B正确,因为=,所以||=||且//,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;
C错误,当且方向相反时,即使||=||,也不能得到=,所以||=||且不是=的充要条件,而是必要不充分条件;
D错误,当λ=μ=0时,与可以为任意向量,满足λ=μ,但与不一定共线.
故选:ACD.
12.(2021·大名县第一中学高一月考)设向量,,若与不共线,且点在线段上,,则( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系,即可知正确选项.
【详解】
由,
∴.
故选:C
13.(2022·全国高三专题练习)已知是平面上的一定点,,,是平面上不共线的三个动点,若动点满足,,则点的轨迹一定通过的( )2·1·c·n·j·y
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
【答案】C
【分析】
取的中点,由已知条件可知动点满足,,易得,则点三点共线,进而得到点的轨迹一定通过的重心.
【详解】
解:设为的中点,则,
则,即,
三点共线,
又因为为的中点,所以是边的中线,
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选:C.
14.(2022·全国高三专题练习),,是圆上不同的三点,线段与线段交于点(点与点不重合),若,则的取值范围是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
由三点共线,设,则,结合已知条件可得,再由三点共线,可得,进而可得即可求解.
【详解】
因为线段与线段交于点,所以三点共线,
所以与共线,设,则,
因为,所以,
可得,
因为三点共线,设,
所以即,
所以,所以,可得,
所以的取值范围是.
故选:B.
15.(2022·全国高三专题练习)已知向量,,其中,不共线,向量,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量与共线?
【答案】存在
【分析】
由已知得,所以要使与共线,则应有实数,使,即,从而得,进而可求得结果
【详解】
因为向量,,
所以
要使与共线,则应有实数,使,
即,
即得.
故存在这样的实数λ,μ,只要,就能使与共线.
16.(2021·全国高一课时练习)设是不共线的非零向量,且.
(1)已知,以为基,表示向量;
(2)若,求的值.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)设,进而向量坐标运算列方程求解即可;
(2)根据向量坐标运算,结合方程思想,列式求解即可得到答案.
【详解】
解:(1)设,
则,
所以解得,所以.
(2),
所以解得.
17.(2022·全国高三专题练习)已知点A,B,C是直线l上不同的三点,点O是l外一点,向量满足--(ln x-y)=,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)(-∞,-ln 2)∪(ln 5,+∞).
【分析】
(1)结合三点共线以及向量运算化简已知条件,由此求得.
(2)利用公式法化简绝对值不等式,结合导数以及函数的最值求得的取值范围.
【详解】
(1)由题意,得,且A,B,C三点共线,
所以,所以.
(2)因为,所以,
即或恒成立.
因为在[1,2]上递增,当时取最小值,
在上递增,当时取最大值.
所以a的取值范围是(-∞,-ln 2)∪(ln 5,+∞).
18.(2021·全国高一课时练习)如图,中,点D是的中点,点E是的中点,设.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用,表示向量;
(2)若点F在上,且,求.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)由于点D是的中点,点E是的中点,所以,,而,从而可求得结果,
(2)设,从而可得,再用,表示,然后结合,可求得的值,从而可求得的值
【详解】
(1)因为,点D是的中点,
所以,
因为点E是的中点,
所以.
(2)设,所以.
又,所以,
所以,所以.
19.(2021·全国高三专题练习)设,是两个不共线的向量,已知,,.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若,且B,D,F三点共线,求k的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)12.
【分析】
(1)通过证明可得结果;
(2)由共线定理得,列出关于的方程解出即可.
【详解】
(1)证明:由已知得,
∵,∴.
又与有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知,
∵,且B,D,F三点共线,
∴,
即,∴,
解得.
20.(2021·麻城市第二中学高一月考)设为的重心,过作直线分别交线段(不与端点重合)于.若.21世纪教育网版权所有
(1)求的值;
(2)求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【分析】
(1)连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点,设,根据, 用 表示,,再由三点共线求解;
(2)由(1)得到,进而得到,利用二次函数的性质求解.
【详解】
(1)如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com / )
连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点,
设,
则, ①
又, ②
,,
三点共线,故存在实数,使,
,则,
消得:,即.
(2) ,
,
,即,
,
其中时,有最大值,时,有最小值2,
所以的取值范围是.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题五 平面向量与复数
01 平面向量的概念及线性运算
考纲对本模块内容的具体要求如下:
平面向量也是高考的必考点,平面向量的线性运算是其中一个重要的考向,复习时,我们要重点掌握:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
数学抽象:1.理解共线向量、相等向量的概念.
2.能从教材实例中抽象出向量的概念,了解向量加法的物理意义与几何意义.
数学运算:理解向量线性运算的意义及运算法则,会进行向量的线性运算.
直观想象:1.理解向量的有关概念及向量的几何表示,能作出相应的向量.
2.掌握向量加法、减法运算,并理解其几何意义.
一、向量的有关概念
(1)向量:既有____又有____的量叫做向量,向量的大小叫做向量的____.
(2)零向量:____的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于____的向量.
(4)平行向量:方向____的非零向量.平行向量又叫____.规定:0与任一向量____.
(5)相等向量:长度____且方向____的向量.
(6)相反向量:长度____且方向____的向量.
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则_______法则 (1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 _______法则 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向_______;当λ<0时,λa的方向与a的方向_______;当λ=0时,λa=0 λ(μ a)=(λμ) a;(λ+μ)a=λa+μ a;λ(a+b)=λa+λb
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
[常用结论]
1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).
2.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
3.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等 ( http: / / www.21cnjy.com )于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+An-1An=,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.21教育网
4.与非零向量a共线的单位向量为±.
考点一 平面向量的概念
(1)(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.向量的模是一个正实数
(2)(2021·全国高二课时练习)(多选)下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.四边形是平行四边形的充要条件
D.模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
【规律方法】
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,不要与线段的共线、平行混为一谈.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.
【跟踪练习】(1)给出下列命题:
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;
③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中真命题的序号是________.
(2)(2021·全国高一课时练习)给出下列命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)(2021·全国高二专题练习)下列命题正确的是( )
A.若与共线,与线,则与共线
B.向量,,共面,即它们所在的直线共面
C.若∥,则存在唯一的实数λ,使=λ
D.零向量是模为0,方向任意的向量
考点二 平面向量的线性运算
(1)(2021·武功县普集高级中学高三开学考试(文))如图所示,已知,,,,则( )21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.
C. D.
(2)(2021·河南高三月考(文))已知的三个内角分别为,,,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
(3)(2021·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考)已知△ABC中,点D在边AB上,且,设,,那么等于________(结果用、表示)
( http: / / www.21cnjy.com / )
【规律方法】
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则 ( http: / / www.21cnjy.com )和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
【跟踪练习】(1)(2022·江苏高三专题练习)在中,为的中点,为边上的点,且,则___________【来源:21·世纪·教育·网】
(2)(2021·全国高一课时练习)①化简:.
②已知向量为,未知向量为向量,满足关系式,求向量.
考点三 向量共线定理及其应用
(2021·全国高三专题练习)设两个非零向量与不共线,
(1)若,,,求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使和共线.
【规律方法】
共线向量定理的三个应用
(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.
(2)证明三点共线:若存在实数λ,使则A,B,C三点共线.
(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
易错警示:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
【跟踪练习】 (1)已知向量e1与e2不共 ( http: / / www.21cnjy.com )线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是( )21·世纪*教育网
A.mn=1 B.mn=-1
C.m+n=1 D.m+n=-1
(2)(2020·上海高三专题练习)设,,是三个非零向量,且与不共线,若关于的方程有两个实根,,则( )www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.,大小不确定
(3)(2021·江苏盐城中学高三其他模拟)设,是两个不共线的平面向量,若,,且与共线,则实数的值为( )21*cnjy*com
A. B. C. D.
1.(2021·山东高考真题)如下图,是线段的中点,设向量,,那么能够表示为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.
C. D.
2.(2020·海南高考真题)在中,D是AB边上的中点,则=( )
A. B. C. D.
3.(2020·山东高考真题)已知平行四边形,点,分别是,的中点(如图所示),设,,则等于( )2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
4.(2021·广州市天河外国语学校高三月考(理))已知为非零向量,“”为“”的( )2-1-c-n-j-y
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.(2021·广东省高三二模(文))已知A,B,C三点不共线,且点O满足则( )
A. B.
C. D.
6.(2021·河南省高三其他(理))设,分别为等差数列,的前n项和,且.设点A是直线外一点,点P是直线上一点,且,则实数的取值为( )【来源:21cnj*y.co*m】
A. B. C. D.
7.(2021·全国高三二模)已知向量和不共线,向量,,,若 三点共线,则( )【出处:21教育名师】
A.3 B.2 C.1 D.
8.(2021·全国(文))在中,,分别为边,上的点,,,与交于点,设,,则___________.(用,表示)
9.(2021·全国高二课时练习)下列命题中正确的是______.
①空间向量与是共线向量,则,,,四点必在一条直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形是平行四边形的充要条件是;
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件.
10.(2022·全国高三专题练习)等边三角形中,,AD与BE交于F,则下列结论正确的是( )【版权所有:21教育】
A. B.
C. D.
11.(2022·全国高三专题练习)(多选)给出下列命题,不正确的有( )
A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
B.若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形
C.的充要条件是||=||且
D.已知λ,μ为实数,若λ=μ,则与共线
12.(2021·大名县第一中学高一月考)设向量,,若与不共线,且点在线段上,,则( )www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
13.(2022·全国高三专题练习)已知是平面上的一定点,,,是平面上不共线的三个动点,若动点满足,,则点的轨迹一定通过的( )21·cn·jy·com
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
14.(2022·全国高三专题练习),,是圆上不同的三点,线段与线段交于点(点与点不重合),若,则的取值范围是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
15.(2022·全国高三专题练习)已知向量,,其中,不共线,向量,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量与共线?
16.(2021·全国高一课时练习)设是不共线的非零向量,且.
(1)已知,以为基,表示向量;
(2)若,求的值.
17.(2022·全国高三专题练习)已知点A,B,C是直线l上不同的三点,点O是l外一点,向量满足--(ln x-y)=,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
18.(2021·全国高一课时练习)如图,中,点D是的中点,点E是的中点,设.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用,表示向量;
(2)若点F在上,且,求.
19.(2021·全国高三专题练习)设,是两个不共线的向量,已知,,.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若,且B,D,F三点共线,求k的值.
20.(2021·麻城市第二中学高一月考)设为的重心,过作直线分别交线段(不与端点重合)于.若.21世纪教育网版权所有
(1)求的值;
(2)求的取值范围.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
展开更多......
收起↑