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专题五 平面向量与复数
01 平面向量的概念及线性运算
考纲对本模块内容的具体要求如下：
平面向量也是高考的必考点，平面向量的线性运算是其中一个重要的考向，复习时，我们要重点掌握：
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
数学抽象：1.理解共线向量、相等向量的概念.
2.能从教材实例中抽象出向量的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.
数学运算：理解向量线性运算的意义及运算法则，会进行向量的线性运算.
直观想象：1.理解向量的有关概念及向量的几何表示，能作出相应的向量.
2.掌握向量加法、减法运算，并理解其几何意义.
一、向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[常用结论]
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和 ( http: / / www.21cnjy.com )等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．21cnjy.com
4．与非零向量a共线的单位向量为±.
考点一 平面向量的概念
（1）（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
【答案】A
【分析】
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
（2）（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形是平行四边形的充要条件
D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
【答案】CD
【分析】
A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断.21·世纪*教育网
【详解】
A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误；
B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误；
C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有，
若，则，则四边形是平行四边形，故正确；
D.由零向量的规定，知正确．
故选：CD
【规律方法】
（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（2）共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈.
（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
【跟踪练习】（1）给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
【答案】　③
【解析】　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；2-1-c-n-j-y
②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；【来源：21cnj*y.co*m】
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；【出处：21教育名师】
⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
故填③.
（2）（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据相反向量的定义即可判断A；由向量不能比较大小即可判断B；根据共线向量的定义即可判断C；当时，即可判断D.21*cnjy*com
【详解】
解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若，则向量方向相同，故③正确；
当时，向量的方向不能确定，故④错误.
所以正确命题的个数是2个.
故选：C.
（3）（2021·全国高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
【答案】D
【分析】
假设为零向量，可判断选项A；
根据向量的特征，可判断选项B；
根据向量共线定理，可判断选项C；
根据零向量的定义，可判断选项D.
【详解】
由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；
因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；
共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；
根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.
故选：D.
考点二 平面向量的线性运算
（1）（2021·武功县普集高级中学高三开学考试（文））如图所示，已知，，，，则（ ）【版权所有：21教育】
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
以，为基底，根据向量的线性运算求解即可.
【详解】
，
故选：A
（2）（2021·河南高三月考（文））已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】
利用正弦定理变形向量等式，再利用向量加法、向量减法的意义即可判断作答.
【详解】
在中，令线段BC的中点为M，由正弦定理得：，
由得：，
即，而，，则，
于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上，
所以动点的轨迹一定经过的重心.
故选：A
（3）（2021·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）已知△ABC中，点D在边AB上，且，设，，那么等于________（结果用、表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：.
【规律方法】
向量线性运算的解题策略
（1）向量的加减常用的法则是平行四边形法则 ( http: / / www.21cnjy.com )和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.
（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
【跟踪练习】（1）（2022·江苏高三专题练习）在中，为的中点，为边上的点，且，则___________21·cn·jy·com
【答案】
【分析】
由平面向量的线性运算即可求解.
【详解】
如图，可知
.
故答案为：
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（2）（2021·全国高一课时练习）①化简：．
②已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量．
【答案】① ；② ，．
【分析】
①利用向量的加减、数乘运算化简即可.
②联立题设向量的线性关系式，可得关于的线性表达式，进而求关于的线性表达式.
【详解】
①．
②由①，②，
∴①+②，得，代入①得，即．
∴，．
考点三 向量共线定理及其应用
（2021·全国高三专题练习）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
（2）由共线定理可知，存在实数λ，使，利用向量相等，即可求解的值.
【详解】
（1）证明：，，，
，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，
，.
【规律方法】
共线向量定理的三个应用
（1）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.
（2）证明三点共线：若存在实数λ，使则A，B，C三点共线.
（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.
【跟踪练习】 (1)已知向量 ( http: / / www.21cnjy.com )e1与e2不共线，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是(　　)21教育名师原创作品
A．mn＝1 B．mn＝－1
C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1
【答案】 A　　
【解析】因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1.
（2）（2020·上海高三专题练习）设，，是三个非零向量，且与不共线，若关于的方程有两个实根，，则( )
A． B． C． D．，大小不确定
【答案】B
【分析】将两根分别代入方程作差化简为，由已知分析即可得结果.
【详解】因为关于的方程，有两个实根，，
所以，，把两个等式相减可得：，即.
因为，，是三个非零向量，且与不共线，所以，，所以.故选：B
（3）（2021·江苏盐城中学高三其他模拟）设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量共线列方程，求出k.
【详解】
由与共线，即，
所以有=，
所以，消去
可得，则．
故选：C．
1．（2021·山东高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，．
故选：B
2．（2020·海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C
3.（2020·山东高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：A
4.（2021·广州市天河外国语学校高三月考（理））已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
5.（2021·广东省高三二模（文））已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，整理得．
6.（2021·河南省高三其他（理））设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，分别为等差数列，的前n项和，且，
不妨取，，
当时，，
当时，，
验证得当时上式成立，综上数列的通项公式为，
同理可得，数列的通项公式为，
则，
又由点P在直线上，设，，即，.
7.（2021·全国高三二模）已知向量和不共线，向量，，，若 三点共线，则（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】
根据A、B、D共线的条件得到，进而得到，根据平面向量基本定理中的分解唯一性，得到关于的方程组，求解即得.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
因为 三点共线，
所以存在实数λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故选：A.
8.（2021·全国（文））在中，，分别为边，上的点，，，与交于点，设，，则___________.（用，表示）
【答案】
【分析】
用，表示，再用向量共线表示出，并由求出，再由求出，然后由与共线即可得解.
【详解】
如图，在中，依题意，，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
因与交于点，则，于是得，，
，，
因，而与不共线，从而有，解得，
所以.
故答案为：
9.（2021·全国高二课时练习）下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
【答案】④⑤
【分析】
根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.21教育网
【详解】
由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．www-2-1-cnjy-com
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当时若为平行四边形，可得，所以④正确．
由模为0是一个向量为，其中的方向时不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
10.（2022·全国高三专题练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
可画出图形，根据条件可得出为边的中点，从而得出选项A正确；
由可得出，进而可得出，从而得出选择B错误；
可设，进而得出，从而得出，进而得出选项C正确；
由即可得出，从而得出选项D错误．
【详解】
如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，为的中点，，A正确；
，，
， B错误；
设，且，，三点共线，
，解得，
，C正确；
，D错误.
故选：AC
11.（2022·全国高三专题练习）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形
C．的充要条件是||＝||且
D．已知λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线
【答案】ACD
【分析】
A错误，两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，＝，分析得到四边形ABCD为平行四边形；
C错误,||＝||且不是＝的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，满足λ＝μ，但与不一定共线.
【详解】
A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以||＝||且//，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当且方向相反时，即使||＝||，也不能得到＝，所以||＝||且不是＝的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，与可以为任意向量，满足λ＝μ，但与不一定共线.
故选：ACD.
12.（2021·大名县第一中学高一月考）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.
【详解】
由，
∴.
故选：C
13.（2022·全国高三专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）2·1·c·n·j·y
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】
取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.
【详解】
解：设为的中点，则，
则，即，
三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：C.
14.（2022·全国高三专题练习），，是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由三点共线，设，则，结合已知条件可得，再由三点共线，可得，进而可得即可求解.
【详解】
因为线段与线段交于点，所以三点共线，
所以与共线，设，则，
因为，所以，
可得，
因为三点共线，设，
所以即，
所以，所以，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
15.（2022·全国高三专题练习）已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
【答案】存在
【分析】
由已知得，所以要使与共线，则应有实数，使，即，从而得，进而可求得结果
【详解】
因为向量，，
所以
要使与共线，则应有实数，使，
即，
即得.
故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线.
16．（2021·全国高一课时练习）设是不共线的非零向量，且.
（1）已知，以为基，表示向量；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，进而向量坐标运算列方程求解即可；
（2）根据向量坐标运算，结合方程思想，列式求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）设，
则，
所以解得，所以.
（2），
所以解得.
17．（2022·全国高三专题练习）已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O是l外一点，向量满足－－(ln x－y)＝，记y＝f(x)．
（1）求函数y＝f(x)的解析式；
（2）若对任意的x∈，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．
【分析】
（1）结合三点共线以及向量运算化简已知条件，由此求得.
（2）利用公式法化简绝对值不等式，结合导数以及函数的最值求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意，得，且A，B，C三点共线，
所以，所以．
（2）因为，所以，
即或恒成立．
因为在[1，2]上递增，当时取最小值，
在上递增，当时取最大值.
所以a的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．
18．（2021·全国高一课时练习）如图，中，点D是的中点，点E是的中点，设.
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（1）用，表示向量；
（2）若点F在上，且，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由于点D是的中点，点E是的中点，所以，，而，从而可求得结果，
（2）设，从而可得，再用，表示，然后结合，可求得的值，从而可求得的值
【详解】
（1）因为，点D是的中点，
所以，
因为点E是的中点，
所以.
（2）设，所以.
又，所以，
所以，所以.
19．（2021·全国高三专题练习）设，是两个不共线的向量，已知，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若，且B，D，F三点共线，求k的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）12.
【分析】
（1）通过证明可得结果；
（2）由共线定理得，列出关于的方程解出即可.
【详解】
（1）证明：由已知得，
∵，∴.
又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）由（1）可知，
∵，且B，D，F三点共线，
∴，
即，∴，
解得.
20．（2021·麻城市第二中学高一月考）设为的重心，过作直线分别交线段(不与端点重合)于．若．21世纪教育网版权所有
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，设，根据， 用 表示，，再由三点共线求解；
（２）由（1）得到，进而得到，利用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，
设，
则， ①
又， ②
，，
三点共线，故存在实数，使，
，则，
消得：，即.
（２） ，
，
，即，
，
其中时，有最大值，时，有最小值2，
所以的取值范围是.
考纲解读
核心素养
知识梳理
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专题五 平面向量与复数
01 平面向量的概念及线性运算
考纲对本模块内容的具体要求如下：
平面向量也是高考的必考点，平面向量的线性运算是其中一个重要的考向，复习时，我们要重点掌握：
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
数学抽象：1.理解共线向量、相等向量的概念.
2.能从教材实例中抽象出向量的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.
数学运算：理解向量线性运算的意义及运算法则，会进行向量的线性运算.
直观想象：1.理解向量的有关概念及向量的几何表示，能作出相应的向量.
2.掌握向量加法、减法运算，并理解其几何意义.
一、向量的有关概念
(1)向量：既有____又有____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____．
(2)零向量：____的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于____的向量．
(4)平行向量：方向____的非零向量．平行向量又叫____．规定：0与任一向量____．
(5)相等向量：长度____且方向____的向量．
(6)相反向量：长度____且方向____的向量．
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则_______法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 _______法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向_______；当λ<0时，λa的方向与a的方向_______；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[常用结论]
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等 ( http: / / www.21cnjy.com )于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．21教育网
4．与非零向量a共线的单位向量为±.
考点一 平面向量的概念
（1）（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
（2）（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形是平行四边形的充要条件
D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
【规律方法】
（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（2）共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈.
（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
【跟踪练习】（1）给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
（2）（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）（2021·全国高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
考点二 平面向量的线性运算
（1）（2021·武功县普集高级中学高三开学考试（文））如图所示，已知，，，，则（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
（2）（2021·河南高三月考（文））已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
（3）（2021·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）已知△ABC中，点D在边AB上，且，设，，那么等于________（结果用、表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【规律方法】
向量线性运算的解题策略
（1）向量的加减常用的法则是平行四边形法则 ( http: / / www.21cnjy.com )和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.
（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
【跟踪练习】（1）（2022·江苏高三专题练习）在中，为的中点，为边上的点，且，则___________【来源：21·世纪·教育·网】
（2）（2021·全国高一课时练习）①化简：．
②已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量．
考点三 向量共线定理及其应用
（2021·全国高三专题练习）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【规律方法】
共线向量定理的三个应用
（1）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.
（2）证明三点共线：若存在实数λ，使则A，B，C三点共线.
（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.
【跟踪练习】 (1)已知向量e1与e2不共 ( http: / / www.21cnjy.com )线，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是(　　)21·世纪*教育网
A．mn＝1 B．mn＝－1
C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1
（2）（2020·上海高三专题练习）设，，是三个非零向量，且与不共线，若关于的方程有两个实根，，则( )www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．，大小不确定
（3）（2021·江苏盐城中学高三其他模拟）设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
1．（2021·山东高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
2．（2020·海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
3.（2020·山东高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4.（2021·广州市天河外国语学校高三月考（理））已知为非零向量，“”为“”的（ ）2-1-c-n-j-y
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.（2021·广东省高三二模（文））已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（ ）
A． B．
C． D．
6.（2021·河南省高三其他（理））设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
7.（2021·全国高三二模）已知向量和不共线，向量，，，若 三点共线，则（ ）【出处：21教育名师】
A．3 B．2 C．1 D．
8.（2021·全国（文））在中，，分别为边，上的点，，，与交于点，设，，则___________.（用，表示）
9.（2021·全国高二课时练习）下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
10.（2022·全国高三专题练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
11.（2022·全国高三专题练习）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形
C．的充要条件是||＝||且
D．已知λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线
12.（2021·大名县第一中学高一月考）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
13.（2022·全国高三专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）21·cn·jy·com
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
14.（2022·全国高三专题练习），，是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
15.（2022·全国高三专题练习）已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
16．（2021·全国高一课时练习）设是不共线的非零向量，且.
（1）已知，以为基，表示向量；
（2）若，求的值.
17．（2022·全国高三专题练习）已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O是l外一点，向量满足－－(ln x－y)＝，记y＝f(x)．
（1）求函数y＝f(x)的解析式；
（2）若对任意的x∈，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2021·全国高一课时练习）如图，中，点D是的中点，点E是的中点，设.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）用，表示向量；
（2）若点F在上，且，求.
19．（2021·全国高三专题练习）设，是两个不共线的向量，已知，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若，且B，D，F三点共线，求k的值.
20．（2021·麻城市第二中学高一月考）设为的重心，过作直线分别交线段(不与端点重合)于．若．21世纪教育网版权所有
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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