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专题五 平面向量与复数
02 平面向量基本定理及坐标表示
考纲对本模块内容的具体要求如下：
平面向量基本定理与坐标表示及运算是高 ( http: / / www.21cnjy.com )考的一个热门考点，对于平面向量的考察主要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者填空为主，出多项选择题的机率也比较大.21世纪教育网版权所有
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
数学抽象：1.通过具体的实例推导出平面向量基本定理.
2.掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义.
数学运算：1.了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系，会用坐标表示平面向量的加、减运算.
2.掌握平面向量坐标运算的方法，并能灵活的运用.
逻辑推理：熟练掌握平面向量基本定理，并能应用它解决相应的问题.
一、平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e ( http: / / www.21cnjy.com )2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.21cnjy.com
(2)基底：______的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
二、平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝______，a－b＝______，
λa＝______，|a|＝______.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______，
||＝______.
三、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线 ______.
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0，＝(＋)．
考点一 平面向量基本定理及其应用　
(1)(2020安徽省高三月考)设为所在平面内一点，，若，则__________．
（2）（2022·全国），，是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【规律方法】
平面向量基本定理应用的实质和一般思路
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.21·cn·jy·com
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.2·1·c·n·j·y
【跟踪练习】（1）（2022·全国高三专题练习）已知点，若，且点在直线上，则的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
（2）（2021·全国高三专题练习（文））设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使．
考点二 平面向量的坐标运算
(1)(2020四川省阆中中学高三二模)已知向量，且，则m=
A． 8 B． 6 C．6 D．8
（2）（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.2-1-c-n-j-y
(3)（2021·天津红桥区·高一学业考试）若向量，则的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（0，1） D．（3，5）
【规律方法】
1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.21*cnjy*com
2.向量问题坐标化：向量 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高三月考（理））若向量，，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2【来源：21cnj*y.co*m】
（2）（2022·全国高三专题练习）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）【出处：21教育名师】
A．（－7，－4） B．（7，4） C．（－1，4） D．（1，4）
考点三 向量共线的坐标表示
(1)（2021·全国高一单元测试）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．1
（2）（2021·辽宁丹东·高一期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
（3）（2021·云南省永善县第一中学高一月考）已知点，，三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【规律方法】
与向量共线有关的题型与解法
（1）证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；
（2）已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程(组)求解.
【跟踪练习】（2021·大名县第一中学高一月考）已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且 三点共线，求的值？
1. （2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
2．（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
3.（2021·中山市第二中学高一月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4.（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5.（2021·广东高一月考）设，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6.（2021·全国高三月考）设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
7．（2021·河北高三月考）设，非零向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
8．（2022·河北高三专题练习）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．对于任意，，
D．对于任意，，
9.（2021·江苏南京市·高二月考）已知向量，若，则___________.
10.（2021·麻城市第二中学高一期中）已知向量，且与共线，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国高三专题练习（文））设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
12．（2021·江苏金陵中学高三月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）21教育网
A． B． C． D．
13．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知点是所在平面内一点，且，则（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
14．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知向量，，若，则实数___________.
15．（2022·全国）在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在 中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.21·世纪*教育网
16.（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知向量.
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数k的值.
17.（2021·湖南长沙市·长郡中学高二月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量(，)，(，)，且．www-2-1-cnjy-com
（1）若，求A及的值；
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．
18.（2021·莆田第七中学）已知两向量，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且，，三点共线，求的值.
19．（2021·全国）已知，，，．
（1）求的坐标；
（2）若以，为基底，求的表达式．
20．（2021·福建仙游一中高一月考）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
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（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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专题五 平面向量与复数
02 平面向量基本定理及坐标表示
考纲对本模块内容的具体要求如下：
平面向量基本定理与坐标表示及运算 ( http: / / www.21cnjy.com )是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者填空为主，出多项选择题的机率也比较大.21教育网
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
数学抽象：1.通过具体的实例推导出平面向量基本定理.
2.掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义.
数学运算：1.了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系，会用坐标表示平面向量的加、减运算.
2.掌握平面向量坐标运算的方法，并能灵活的运用.
逻辑推理：熟练掌握平面向量基本定理，并能应用它解决相应的问题.
一、平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.21cnjy.com
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
二、平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
三、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线 x1y2－x2y1＝0.
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0，＝(＋)．
考点一 平面向量基本定理及其应用　
(1)(2020安徽省高三月考)设为所在平面内一点，，若，则__________．
【答案】-3
【解析】∵为所在平面内一点, ，
∴B，C，D三点共线.若∴，
化为： =+，与= +，比较可得： ，解得.
即答案为-3.
（2）（2022·全国），，是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由三点共线，设，则，结合已知条件可得，再由三点共线，可得，进而可得即可求解.
【详解】
因为线段与线段交于点，所以三点共线，
所以与共线，设，则，
因为，所以，
可得，
因为三点共线，设，
所以即，
所以，所以，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【规律方法】
平面向量基本定理应用的实质和一般思路
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.21·世纪*教育网
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.www-2-1-cnjy-com
【跟踪练习】（1）（2022·全国高三专题练习）已知点，若，且点在直线上，则的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【分析】
设，由，结合平面向量的坐标运算和基本定理，可求出，由于点在直线上，代入计算即可求出的值.
【详解】
解：设，已知，
则由，
得，
所以，
又因为点在直线上，
故，解得.
故选：B.
（2）（2021·全国高三专题练习（文））设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使．
【答案】AB
【分析】
由平面向量的加减法可判断A，由平面向量基本定理可判断B，举出反例可判断C、D．
【详解】
对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；
对于B，因为向量在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确；
对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；
对于D， 设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误．
故选：AB．
考点二 平面向量的坐标运算
(1)(2020四川省阆中中学高三二模)已知向量，且，则m=
A． 8 B． 6 C．6 D．8
【答案】D
【解析】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
（2）（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.21·cn·jy·com
【答案】
【分析】
由题意知是线段的中点，根据向量加法的几何意义有，结合向量线性运算的坐标表示求的坐标.
【详解】
由题设，点是线段的中点，
∴.
故答案为：
(3)（2021·天津红桥区·高一学业考试）若向量，则的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（0，1） D．（3，5）
【答案】B
【分析】
直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：B
【规律方法】
1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.www.21-cn-jy.com
2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使 ( http: / / www.21cnjy.com )得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高三月考（理））若向量，，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-22·1·c·n·j·y
【答案】A
【分析】
根据给定条件利用向量共线的坐标表示列式即可.
【详解】
因向量，，且，则有，即，
所以.
故选：A
（2）（2022·全国高三专题练习）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．（－7，－4） B．（7，4） C．（－1，4） D．（1，4）
【答案】A
【分析】
首先设，根据得到，再求的坐标即可.
【详解】
设，则
所以，，即.
所以.
故选：A
考点三 向量共线的坐标表示
(1)（2021·全国高一单元测试）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出的值．
【详解】
向量，，
所以， ，
又，
所以，
解得．
故选：B．
（2）（2021·辽宁丹东·高一期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】
先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.
【详解】
因为，所以，易知，所以，所以.
故选：C.
（3）（2021·云南省永善县第一中学高一月考）已知点，，三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
先利用三点共线构造向量共线，再利用向量共线的坐标形式进行求解.
【详解】
因为，，三点共线，所以可设，
因为，，
所以，解得，
所以.
故选：B.
【规律方法】
与向量共线有关的题型与解法
（1）证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；
（2）已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程(组)求解.
【跟踪练习】（2021·大名县第一中学高一月考）已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且 三点共线，求的值？
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求得，的坐标，再根据与共线求解；
（2）法一：根据 三点共线，由求解；法二：先求得，的坐标，再根据 三点共线，由，利用坐标运算求解.21世纪教育网版权所有
【详解】
（1），
.
∵与共线，
∴，
即，得.
（2）法一：∵ 三点共线，
∴，
即，
∴，解得.
法二：，
.
∵ 三点共线，
∴.
∴，
即，
∴.
1. （2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
2．（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
3.（2021·中山市第二中学高一月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．
【详解】
，
即，解得，
即．
故选：B．
4.（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可.
【详解】
在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，
于是得，而，且与不共线，
则，即有，因此，，
当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，
所以的最小值为.
故选：C
5.（2021·广东高一月考）设，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的坐标表示计算得出结果即可.
【详解】
因为，所以
选项D正确，选项ABC错误
故选：D．
6.（2021·全国高三月考）设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】CD
【分析】
对于A：直接求出，即可判断；
对于B、C：利用坐标运算即可判断；
对于D：利用夹角公式求出夹角.
【详解】
因为，，所以，，所以，故A错误；
因为，，所以，所以与不平行，故B错误；
又，所以.故C正确；
又，且，所以与的夹角为，故D正确.
故选：CD.
7．（2021·河北高三月考）设，非零向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
【答案】ABD
【分析】
根据平面向量共线、垂直的性质，结合同角的三角函数关系式、二倍角公式逐一判断即可.
【详解】
对于A，，而，因为，
所以得，（舍去），，所以，
，所以，，故A正确；
对于B，当时，，，所以；故B正确；
对于C，若，则，且，
因此，显然，
故C不正确；
对于D，若，则，则解得（舍）或，则，即，故D正确.
故选：ABD.
8．（2022·河北高三专题练习）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．对于任意，，
D．对于任意，，
【答案】BCD
【分析】
A垂直的数量积为0，列出等式，看解出的是否在上；
B由平行的坐标表示列出等式，看解出的是否在上；
C先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；
D先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.
【详解】
解：对A：，若，则，因为，此时无解，故A错误；
对B：若，则，因为，所以，故B正确；
对C：，因为，所以，，则，，所以，，故C正确；
对D：，因为，则，，所以，，则，，故D正确；
故选：BCD．
9.（2021·江苏南京市·高二月考）已知向量，若，则___________.
【答案】5
【分析】
由得，算出，再代入算出即可.
【详解】
，，，，解得：，
，则.
故答案为：5
10.（2021·麻城市第二中学高一期中）已知向量，且与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出和，利用与共线，即可解出x.
【详解】
因为所以，.
因为与共线，所以，解得：.
故选：B
11．（2021·全国高三专题练习（文））设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
【答案】C
【分析】
根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.
【详解】
假设，即，，
假设，即，，
假设，即，无解，
假设，即，，
故选：C．
12．（2021·江苏金陵中学高三月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出的坐标，再根据旋转角求出的坐标，然后设出点P的坐标，解出即可.
【详解】
解：由题意可知，把点绕点A逆时针方向旋转，得到点，
设，则，
所以，解得，，
所以点的坐标为，
故选：D.
13．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知点是所在平面内一点，且，则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用平面向量的减法及数乘运算法则计算可得．
【详解】
解：由题意得，，所以
．
故选：D．
14．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知向量，，若，则实数___________.
【答案】0或
【分析】
先求出和的坐标，再解方程即得解.
【详解】
解：向量，，
则，，
若，则，
所以
解得或.
故答案为：0或.
15．（2022·全国）在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在 中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.【出处：21教育名师】
【答案】
【分析】
根据向量的线性运算即可得解.
【详解】
；
故答案为：
16.（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知向量.
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数k的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据平面向量的基本定理，结合向量线性关系的坐标运算可得，即可求m，n；
（2）由向量线性关系的坐标运算求、的坐标，再根据向量平行的坐标表示求参数k值.
【详解】
（1）由题设，，
∴，则，解得.
（2）由题设，，，
又，故，解得.
17.（2021·湖南长沙市·长郡中学高二月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量(，)，(，)，且．【版权所有：21教育】
（1）若，求A及的值；
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）A=；tanC=；（2）（6，9]．
【分析】
(1)由向量平行的坐标表示得出的关系，结合余弦定理求得角，然后由诱导公式、两角和的正切公式求得结论；21教育名师原创作品
（2）由正弦定理把用角表示，利用两角和的正弦公式，正弦函数性质可得周长范围.
【详解】
（1）因为，所以（b+c+a）（b+c）=0，所以（b+c）2=3bc，所以b2+c2=bc，
所以2bccosA=bc．所以cosA=，
因为0所以tanC==．
（2）由正弦定理得
所以b=sinB，c=sinC=sin（），
所以三角形的周长为3+b+c=3+sinB+sin（）=3+(sinB+cosB)
=3+6(sinB+cosB)=3+6sin()，
因为0所以，
所以，
所以三角形的周长的取值范围为（6，9]．
18.（2021·莆田第七中学）已知两向量，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且，，三点共线，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先计算和的坐标，再利用向量共线的坐标表示列方程即可求解；
（2）分别计算和的坐标，根据题意可知：和共线，再利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
（1），.
当与共线时，，
解得.
（2）由已知可得，.
因为，，三点共线，所以，
所以.解得.
19．（2021·全国）已知，，，．
（1）求的坐标；
（2）若以，为基底，求的表达式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据向量坐标的基本运算即可求的坐标；
（2）若以，为基底，设，利用向量相等的条件解方程即可得到结论.
【详解】
（1），，,
,
即的坐标为；
（2）若以，为基底，设，
即，
即，解得，，
则.
20．（2021·福建仙游一中高一月考）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
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（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，，三点共线，设，由，，三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由，，三点共线，设，
由（1）可求得，，即可得到为定值.
【详解】
解答：（1）由，，三点共线，可设，
由，，三点共线，可设，
∴，解得，，∴.
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（2）∵，，三点共线，设，
由（1）知，，
∴，，
∴.
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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