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专题五 平面向量与复数
03平面向量的数量积
考纲对本模块内容的具体要求如下：
以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的 ( http: / / www.21cnjy.com )条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．2·1·c·n·j·y
数学抽象：理解平面向量的数量积的定义.
数学运算：1.能根据数量积的定义计算两个向量的数量积.
2.能根据向量数量积的定义推导出向量的模长公式、夹角公式以及垂直条件的坐标表示，并能简单应用.www-2-1-cnjy-com
逻辑推理：掌握向量数量积的性质及其运算律.
一、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
二、平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
三、平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
四、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤·
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
考点一 平面向量数量积的运算　
(1)（2021·全国高一单元测试）已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上的点，且＝2，F为BC的中点，则＝（ ）21教育网
A．﹣2 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B
【分析】
以点B为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求得，，结合数量积坐标公式即可求解．
【详解】
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系，
则，，，，，
，，则．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（2021·西藏昌都市第一高级中学高三开学考试）已知向量，若，则（ ）
A．18 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【分析】
先由求出，得到，，再利用数量积的坐标表示进行的计算.
【详解】
因为，所以，解得，
所以.
故选：C
(3)（2021·浙江高三月考）边长为2的正三角形内一点（包括边界）满足：，则的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据点点M在内部（包括边界），得到的取值范围，再根据向量的线性运算得，根据向量数量积得运算率即可得出答案.
【详解】
解：因为点M在内部（包括边界），所以，
由
.
故选：B.
【规律方法】
1.向量数量积的两种运算方法
（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝ x1，y1 ，b＝ x2，y2 ，则a·b＝x1x2＋y1y2.【出处：21教育名师】
2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.
【跟踪练习】（1）（2021·绥德中学高一月考（文））已知，均为单位向量，若，的夹角为，则（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用平面向量的数量积运算求解.
【详解】
因为，均为单位向量，，的夹角为，
所以，
故选：D
（2）（2021·全国高一单元测试）已知向量，，若，则＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.
【详解】
故选：A．
考点二 平面向量的夹角与模
　考法1 平面向量的模
(1)（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量满足， ，，则___________.
【答案】
【解析】由已知：， ，，所以，展开得，所以，所以，所以；
故答案为：．
（2）（2021·哈密市第十五中学高二期末（文））平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】B
【分析】
先由已知条件求出，再由可求得答案
【详解】
因为，
所以，
因为向量与的夹角为60°，
所以，
所以，
故选：B
考法2 平面向量的夹角
(1)（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即，得，
则，，.
故选：C.
(2)（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由得，从而可求，然后根据向量夹角公式可解.
【详解】
解：，，
，即，
，，所以向量与的夹角为，
故选：B.
【规律方法】
1.求解平面向量模的方法
（1）写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝
（2）当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，
2.求平面向量的夹角的方法
（1）定义法：注意θ的取值范围为[0，π]；
（2）坐标法：若a＝ x1，y1 ，b＝ x2，y2 ，则
（3）解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高三月考）已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】
利用向量的数量积运算性质即可求得.
【详解】
因为，所以，又平面向量与的夹角为60°，
==
故选：B
(2)（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知单位向量、满足，则的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用已知条件求出的值，再利用平面向量的数量积可求得的值.
【详解】
因为、是单位向量，由可得，则，
所以，，即，可得，
所以，.
故选：C.
(3)（2021·全国高一单元测试）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出和的坐标，进而求出，和，然后利用向量夹角的余弦公式即可求出向量与的夹角的余弦值.
【详解】
，，
∴＝．
故选：D．
（4）（2021·全国高一单元测试）设向量，，．若，则与的夹角为（　　）
A．0° B．30° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】
根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．
【详解】
根据题意，设与的夹角为，
，，，
则，解得，
则，，
则，
所以，
故，
故选：D．
1.（2021·北京高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________.21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】0 3
【分析】
根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
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则，
，，
.
故答案为：0；3.
2.（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．21·cn·jy·com
【答案】1
【分析】
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
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3．（2021·湖南高考真题）已知向量，，则___________
【答案】
【分析】
利用向量模的坐标表示，即可求解.
【详解】
，所以.
故答案为：
4.（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
5.（2021·全国高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得，
因此，.
故答案为：.
6.（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．
【答案】0 3
【解析】
根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
，
，，
.
故答案为：0；3.
7.（2021·全国高考真题（文））若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵∴∴.
故答案为：.
8.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】
利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得,
故答案为：.
9.（2021·山东高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】
利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】
，，
.
故选：A.
10.（2020·山东高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）21cnjy.com
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.2-1-c-n-j-y
【详解】
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的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
11.（2020·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.21*cnjy*com
【答案】
【解析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】
由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
12. (2020年高考全国III卷理数)已知向量a，b满足，，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，.
，
因此，.
故选：D．
13.（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【解析】
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
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则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
14.（2021·江西抚州市·临川一中高三月考（文））已知，与的夹角，则向量在向量方向上的投影为___________.
【答案】
【分析】
由条件及投影的计算公式即可得到向量在向量方向上的投影.
【详解】
，与的夹角
在方向上的投影为
故答案为：
15.（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
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【答案】
【解析】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
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,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
16.（2021·南岸区·重庆第二外国语学校高一月考）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】
首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用向量的夹角公式即得解
【详解】
由已知，，
所以，
，
设向量与的夹角为，
则
故选：C
17.（2021·湖北高三月考）把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点D为线段的黄金分割点（），，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
点D为线段的黄金分割点，求出，,再求得解.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
点D为线段的黄金分割点，
则，
所以，
则.
故选：A.
18.（2021·福建省宁化第一中学）在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
19．（2021·福建省宁化第一中学）下列说法中错误的为（ ）
A．已知，且与夹角为锐角，则
B．点为的内心，且，则为等腰三角形；
C．若与平行，在方向上的投影为
D．若非零，满足则与的夹角是
【答案】ACD
【分析】
对于A，分析得到且，故A错误；
对于B, 分析得到，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C， 在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，与的夹角为，故D错误．
【详解】
解：对于A，，且与夹角为锐角，
，
且时与的夹角为，所以且，故A错误；
对于B,
所以，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，
则，，
故，而向量的夹角范围为，，得与的夹角为，故D错误．
故选：ACD
20.（2021·山东济宁市·高一期中）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
【答案】（1）或；（2）的最小值为，此时与夹角的余弦值为.
【分析】
（1）设，根据平面向量的模长公式可求得的值，即可得出向量的坐标；
（2）由化简得出，构造函数，利用函数在区间上的单调性求出的最小值，即为的最小值，由此可求得与夹角的余弦值.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1），且，设，
由，得，得，
所以，或；
（2）由，得，
所以，，
，，所以，，可得，
，则函数、均为减函数，
令，则在上单调递减，
可得．即的最小值为．
此时与夹角的余弦值．
21．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·延边二中高一月考）已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将条件展开计算，根据模长计算出的值，由此可求夹角；
（2）先根据展开计算即可计算出的值即可.
【详解】
（1）因为，所以，
又因为，所以.
（2）因为，则，所以，
化简得：，解得：.
22．（2021·全国高三月考（文））在中，，，，，直线与直线相交于点，.
（1）求实数的值；
（2）若，求的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用三点共线，把，从而得到，又有，根据平面向量基本定理即可求出；
（2）先由，求出，对两边平方，即可求出.
【详解】
（1）根据题意得，，三点共线，故可设.
因为，所以.
因为，所以.
又，
所以.
由对应系数相等得，则
解得.
（2）因为，所以.
由可得，
，
则，
故，
得，又，
故.
23．（2021·河南高一期末）已知向量.
（1）若向量，且与垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与的夹角为钝角，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值.
（2）根据与的夹角为钝角求得的取值范围，利用向量模的坐标表示化简，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）因为，，
结合与垂直，得到，解得，
所以实数的值为.
（2）因为与的夹角为钝角，
所以，.
又当时，，所以且.
因为，
所以.
由于当且时，.
所以的取值范围为.
24.（2022·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤).21教育名师原创作品
（1）若⊥，且||＝||，求向量；
（2）若向量与向量共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
【答案】（1）＝(24，8)或＝(－8，－8)；（2）32.
【分析】
（1）根据⊥，列出方程，再根据||＝||，列出方程，解之即可得出答案；
（2）由向量与向量共线，可得t＝－2ksin θ＋16，则tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ，再根据当k>4，且tsin θ取最大值4时，可求得k，t，θ，再根据向量数量积的坐标运算即可得解.21*cnjy*com
【详解】
解：(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24，8)或＝(－8，－8).
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
∵与共线，∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
，
∵k>4，∴0<<1，
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，
此时sin θ＝，则，又0≤θ≤，
所以，则＝(4，8)，
∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.
25.（2021·福建泉州五中高一期中）已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）把函数的图象先向右平移个单位，横坐标再变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在区间上单调递增，求正实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量的模的公式，列出方程，因式分解，即可得到本题答案；
（2）由向量的数量积公式得到，然后通过平移伸缩变化后得到，最后根据在区间上单调递增的等价条件为，解出不等式，并结合为正实数，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，所以，
化简得，，
即，
解得，，
又，所以；
（2），
把函数的图象先向右平移个单位，得函数，
横坐标再变为原来的（纵坐标不变），得函数，
令，因为，，所以，
由在区间上单调递增，得，所以.
26．（2021·江苏省前黄高级中学）在平面直角坐标系xOy中，设向量.
（1）若|+|=||，求的值；
（2）设，且∥(+)，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量模的坐标表示，转化为三角函数求的值；（2）利用向量平行，转化为三角函数恒等变换，求得，再利用角的范围求.
【详解】
（1），
，，
，解得：；
（2），
，，
，，
，化简为，
，，，
解得：
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
真题演练
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专题五 平面向量与复数
03平面向量的数量积
考纲对本模块内容的具体要求如下：
以考查向量的数量积、夹角、 ( http: / / www.21cnjy.com )模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．21·cn·jy·com
数学抽象：理解平面向量的数量积的定义.
数学运算：1.能根据数量积的定义计算两个向量的数量积.
2.能根据向量数量积的定义推导出向量的模长公式、夹角公式以及垂直条件的坐标表示，并能简单应用.www.21-cn-jy.com
逻辑推理：掌握向量数量积的性质及其运算律.
一、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
二、平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量______叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 ______叫做向量a在b方向上的投影，______叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影______的乘积
三、平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝______＝______；
(3)分配律：a·(b＋c)＝______.
四、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝
数量积 a·b＝|a||b|cos θ
夹角 cos θ＝
a⊥b a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
考点一 平面向量数量积的运算　
(1)（2021·全国高一单元测试）已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上的点，且＝2，F为BC的中点，则＝（ ）21教育网
A．﹣2 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8
（2）（2021·西藏昌都市第一高级中学高三开学考试）已知向量，若，则（ ）
A．18 B．24 C．26 D．28
(3)（2021·浙江高三月考）边长为2的正三角形内一点（包括边界）满足：，则的取值范围是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【规律方法】
1.向量数量积的两种运算方法
（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝ x1，y1 ，b＝ x2，y2 ，则a·b＝x1x2＋y1y2.2·1·c·n·j·y
2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.
【跟踪练习】（1）（2021·绥德中学高一月考（文））已知，均为单位向量，若，的夹角为，则（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高一单元测试）已知向量，，若，则＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点二 平面向量的夹角与模
　考法1 平面向量的模
(1)（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量满足， ，，则___________.www-2-1-cnjy-com
（2）（2021·哈密市第十五中学高二期末（文））平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ）2-1-c-n-j-y
考法2 平面向量的夹角
(1)（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
(2)（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
1.求解平面向量模的方法
（1）写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝
（2）当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，
2.求平面向量的夹角的方法
（1）定义法：注意θ的取值范围为[0，π]；
（2）坐标法：若a＝ x1，y1 ，b＝ x2，y2 ，则
（3）解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高三月考）已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（ ）21cnjy.com
A． B．2 C．4 D．
(2)（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知单位向量、满足，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
(3)（2021·全国高一单元测试）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2021·全国高一单元测试）设向量，，．若，则与的夹角为（　　）
A．0° B．30° C．60° D．90°
1.（2021·北京高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________.21世纪教育网版权所有
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2.（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．【版权所有：21教育】
3．（2021·湖南高考真题）已知向量，，则___________
4.（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
5.（2021·全国高考真题）已知向量，，，_______．
6.（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．
7.（2021·全国高考真题（文））若向量满足，则_________.
8.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．
9.（2021·山东高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0.
10.（2020·山东高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
11.（2020·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.21*cnjy*com
12. (2020年高考全国III卷理数)已知向量a，b满足，，，则
A． B． C． D．
13.（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
14.（2021·江西抚州市·临川一中高三月考（文））已知，与的夹角，则向量在向量方向上的投影为___________.
15.（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16.（2021·南岸区·重庆第二外国语学校高一月考）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
17.（2021·湖北高三月考）把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点D为线段的黄金分割点（），，，，则（ ）
A． B． C． D．
18.（2021·福建省宁化第一中学）在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·福建省宁化第一中学）下列说法中错误的为（ ）
A．已知，且与夹角为锐角，则
B．点为的内心，且，则为等腰三角形；
C．若与平行，在方向上的投影为
D．若非零，满足则与的夹角是
20.（2021·山东济宁市·高一期中）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
21．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·延边二中高一月考）已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求.
22．（2021·全国高三月考（文））在中，，，，，直线与直线相交于点，.
（1）求实数的值；
（2）若，求的大小.
23．（2021·河南高一期末）已知向量.
（1）若向量，且与垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与的夹角为钝角，求的取值范围.
24.（2022·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤).【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若⊥，且||＝||，求向量；
（2）若向量与向量共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
25.（2021·福建泉州五中高一期中）已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）把函数的图象先向右平移个单位，横坐标再变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在区间上单调递增，求正实数的取值范围.
26．（2021·江苏省前黄高级中学）在平面直角坐标系xOy中，设向量.
（1）若|+|=||，求的值；
（2）设，且∥(+)，求的值.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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