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专题五 平面向量与复数
04 平面向量的应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.【来源：21cnj*y.co*m】
逻辑推理：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
数学运算：熟练掌握向量的线性运算、数量积运算及共线向量基本定理，并能利用它们解决几何证明和求值问题.21教育名师原创作品
数学建模：会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题.
一、向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　．21*cnjy*com
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：　a⊥b a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)　．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式　cosθ＝　．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
二、向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度．
考点一 利用向量处理平面几何图形　
考法1 判断点的位置
（2021·全国高一单元测试）已知是内一点，，设的面积为的面积为，则_______．
【答案】
【分析】
过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为先证明再证明，即得解.
【详解】
过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为
因为，,
所以
因为,
所以.
故答案为：
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考法2 两直线垂直
（2021·全国高一课时练习）如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
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【答案】证明见解析.
【分析】
设向量，化简得到，，进而得到
，求得，求得，即可求解.
【详解】
设，且的边长为，
则，
，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以，所以，
从而，
所以，所以.
考法3 求线段的长
（2021·济南市·山东省实验中学）在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC与BD交于点E；E是BD的中点，且；若，求BD的长.
【答案】；
【解析】因为，所以，
又因为E是BD的中点，所以,
所以
即
所以,
解得：，
在中，利用余弦定理得：
所以.
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考法4 判断证明三角形的形状
（1）（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）21·世纪*教育网
【答案】等腰三角形
【解析】
取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．
【详解】取中点，连接，则，又，
，，，
；；的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
（2）．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】
先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．【出处：21教育名师】
【详解】
，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，
，
，
，
，
为等边三角形．
故选：D．
【规律方法】
1.用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法：
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．平面向量与三角函数的综合问题，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式然后求解．
【跟踪练习】（1）（2021·吉林延边朝鲜族自治州·延边二中）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】
利用向量的减法可得，从而可得为斜边的中线，即可求解．
【详解】
解：，
，，
为斜边的中线，．
故选：B．
（2）（2022·河北高三专题练习）在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．既非等腰三角形又非直角三角形
【答案】A
【分析】
由数量积的运算律变形得出垂直关系，从而判断出三角形形状．
【详解】
解：，
，即，
，
则的形状是直角三角形.
故选：A.
（3）（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
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【答案】
【解析】
根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.21教育网
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
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考点二 向量与解析几何结合　
（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知 为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点 ，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）21世纪教育网版权所有
A．36 B．60 C．72 D．108
【答案】B
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.www.21-cn-jy.com
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
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则，，设，
∴，；
由，得；
又，
∴，；
∴；
∴，
∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,
则扫过的三角形的面积为，
设点
∵，
∴，
∴，，
∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,
∴扫过的三角形的面积为，
∴因此和为60，
故选：B.
【跟踪练习】如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为 ．21*cnjy*com
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【答案】
【解析】【解法1】（坐标法）以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。设，，则,，，
=，当时，的最大值为.
【解法2】（定义法）设，，
，令，
，所以的最大值为.
考点三 向量在物理中的应用　
（1）（2021·陕西高一期末）河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 B． C． D．12
【答案】B
【分析】
根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，
则，，所以，
所以（），即小船在静水中的速度大小为.
故选：B.
（2）（2021·山东潍坊·）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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A． B．当时，
C．当角越大时，用力越省 D．当时，
【答案】B
【分析】
根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可得：，
则，
当时，，故A错误；
当时，，及，故B正确；
，因为在上递减，
又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；
当时，即，解得，
又因，所以，故D错误.
故选：B.
【规律方法】
平面向量在物理的力学 ( http: / / www.21cnjy.com )、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算，把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛.
【跟踪练习】（2021·全国高 ( http: / / www.21cnjy.com )一课时练习）已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（ ）
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1,2) D．(－2,2)
【答案】D
【分析】
根据向量加法运算坐标表示公式，结合相反向量的定义进行求解即可.
【详解】
因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)，
所以F1F2F3，要想使该物体保持平衡，
只需F4 ，
故选：D
1.（2022·河北高三专题练习）中，点满足，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
设是中点，结合可得出点在三角形的中线所在直线上，再由可得，两个条件结合可得三角形的边上的中线与高线重合，进而选出答案.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：，设是中点，则，
，故点在三角形的中线所在直线上.
，，即，即.
即，故三角形的边上的中线与高线重合，
所以，三角形是等腰三角形，其中.
故选：B.
2.（2021·江西九江市·九江一中高一期中）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.
【详解】
取中点O，连接，
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，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
3．（2021·南岸区·重庆第二外国语学校）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【分析】
设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】
设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.
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4.（2021·全国高一期中）已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】
先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.
【详解】
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当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则
则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.
故NC+MC＝4，则
（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.
故线段MN的最短长度为
故选：D.
5.（2021·河北石家庄二中高一期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西， B．北偏西，
C．北偏东， D．北偏东，
【答案】A
【分析】
作出示意图，计算出船的航行速度以及船的行驶方向与正北方向间的夹角，由此可得出结论.
【详解】
如图，船从点出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，
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，，则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选：A.
6．（2021·黑龙江哈尔滨三中高一期中）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，则力、的合力对质点所做的功为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】
根据向量的坐标运算求得，的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得选项.
【详解】
因为，，所以，又，，所以，
所以力、的合力对质点所做的功为，
故选：B.
7．（2021·山东潍坊·）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
【答案】B
【分析】
分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
8.（2021·广东深圳市·深圳第三高中高三月考）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）21cnjy.com
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
【答案】ABCD
【分析】
根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC，用向量的数量积和运算律判断D即可.
【详解】
解：对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；
对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；
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对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；
对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；
由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选：ABCD．
9．（2021·辽宁高三开学考试）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．非零向量、满足，则与的夹角为
B．若，则△为等腰三角形．
C．等边△的边长为，则
D．已知向量，且，则
【答案】AB
【分析】
A应用向量数量积的运算律得、，进而求与的夹角；B利用向量加法、数量积的几何意义判断即可；C应用向量数量积的定义计算；D应用向量垂直的坐标表示求参数k.2-1-c-n-j-y
【详解】
A：由可得，则，， ，易知与的夹角为，正确；
B：若为边上的中线，则，结合已知有，即，所以△中，正确；
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C：由题意，，错误；
D：，由题意有，即，错误.
故选：AB
10．（2021·江苏淮安市·高一期中）在水流速度为10的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 D．30
【答案】AC
【分析】
如图所示，设，，解三角形即可得出．
【详解】
如图所示，设，，所以，而，所以，即船出发时行驶速度的大小为20，方向为北偏西30°．
故选：AC．
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11．（2021·全国高一课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
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A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
【答案】AC
【分析】
设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ()，则由题意可得|F|cos θ＝|f|，然后逐个分析判断即可www-2-1-cnjy-com
【详解】
设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ().则|F|cos θ＝|f|，
∴|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大.
∵|F|sin θ增大，|F|sin θ加上浮力等于船的重力，
∴船的浮力减小.
故选：AC
12．（2021·广东高三月考）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】BCD
【分析】
A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.
【详解】
A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
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故选：BCD
13．（2021·浙江金乡卫城中学高一月考）若点为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（ ）
A．直线必过边的中点
B．
C．若的面积为9，则的面积是4
D．
【答案】BCD
【分析】
对A，根据判断即可；化简可得D正确，再根据奔驰定理逐个判定BC即可
【详解】
对D，则，化简得，故D正确；
对A，若直线过边的中点则与题设矛盾，故A错误；
对B，由奔驰定理可得，
故，故，故B正确；
对C，由可得，故C正确；
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的运用，同时也考查了奔驰定理：
内一点满足，则，属于中档题
14.（2021·重庆垫江第五中学校高三月考）已知O为△内部一点，且，则△的面积为__________
【答案】
【分析】
若是中点，连接，易知则共线，根据题设是△外接圆圆心求出、，由 求面积即可.
【详解】
若是中点，连接，则，又，
∴，故共线，又，
∴是△外接圆圆心，即，且，则，，
∴.
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故答案为：
15．（2021·山西临汾·高一月考）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．
【答案】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出南北两岸的距离，再计算快艇从北岸返回南岸的时间．
【详解】
解：如图所示，
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由题意知，，，所以，
所以南北两岸的距离为；
现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，
所以，
即从北岸出发返回南岸的时间是．
故答案为：．
16.（2021·全国高三月考（理））在等边中，，点为的中点，交于点.
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（1）证明：点为的中点；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得，即可求证；
（2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解
【详解】
（1）证明：设，
点为的中点，
，
.
，，三点共线，
，
，
点为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，，三点共线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
17．（2021·江苏南京二十七中高一期中）在中，，，是的角平分线.
（1）若，求的长；
（2）若，且点P满足，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量的运算可得，结合条件，两边平方利用向量的运算即可得解；
（2）如图先建立直角坐标系，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，利用条件可得各点的坐标，，，设，由条件可得，则，利用函数、基本不等式和向量运算三种方法求最值即可得解.
【详解】
（1）因为是的角平分线，所以，
则，
所以，
.
即的长为
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（2）如图，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，
因为，，，所以，，，
设，由得
即，
所以，
代入得.
方法一：
∵∴，
∴，
∴.
方法二：
∵，
由得，
∴.
方法三：
取中点M，中点N，连，
∵，∴为直角三角形，∴，
∵M，N为中点，∴ ，
∵ ，
.
当且仅当与反向取等号.
18.（2021·全国高三专题练习）在△ABC中，已知，是边上靠近点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得
【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．
【分析】
建立平面直角坐标系，设出点坐标，结合向量垂直的坐标表示列方程，通过解方程来进行判断.
【详解】
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
，是边上靠近点的一个三等分点，
所以，，
假设上存在点使得，设，
，，
，
不合题意.
所以不存在符合题意的点.
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19.（2021·福建泉州五中高一期中）在中，，对任意，有.
（1）求角；
（2）若，，且、相交于点.求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将不等式两边平方可得，可得出，求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）将、用、表示，利用平面向量数量积的运算性质计算得出，即可证得结论成立.
【详解】
（1）等价于，
等价于，等价于.
所以，
因为，所以，又因为，所以；
（2）先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则.
因为、、为直线上三个不同的点，则，
可设，即，所以，，
所以，，结论成立.
本题中，由（1）知，是边长为的等边三角形，.
因为在上，设，
又因为在上，所以，
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所以，，解得.
因为，，
所以
.
故，得证.
20.（2022·全国高三专题练习）在中，设.
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若且，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1） ，知，由， 知，所以，即可证明为等腰三角形；
（2）由，知，设，由，知，所以，由此能够求出的取值范围.
【详解】
（1）因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
故为等腰三角形，
（2）因为，所以，设，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，
，，即.
21.（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）家有重物，爸 妈 孩三人合力拉拍，用力依次为，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面.2·1·c·n·j·y
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（1）求物重；
（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据得到，然后根据向量的数量积运算求解出结果；
（2）根据结合（1）的结果可求解出所成角的余弦值，则孩子用力方向与竖直方向所成角可求.
【详解】
（1）因为，所以，
所以
所以物重；
（2）设所求角为，则，
则孩子用力方向与坚直方向所成的较小角为.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1.1
例1.2
例1.3
例1.4
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题五 平面向量与复数
04 平面向量的应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.21世纪教育网版权所有
逻辑推理：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
数学运算：熟练掌握向量的线性运算、数量积运算及共线向量基本定理，并能利用它们解决几何证明和求值问题.21教育网
数学建模：会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题.
一、向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：_________________________．2·1·c·n·j·y
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：_________________________．21*cnjy*com
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式_________________________．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．【来源：21cnj*y.co*m】
二、向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，_________________________．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而_________________________．
考点一 利用向量处理平面几何图形　
考法1 判断点的位置
（2021·全国高一单元测试）已知是内一点，，设的面积为的面积为，则_______．【来源：21·世纪·教育·网】
考法2 两直线垂直
（2021·全国高一课时练习）如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
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考法3 求线段的长
（2021·济南市·山东省实验中学）在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC与BD交于点E；E是BD的中点，且；若，求BD的长.
考法4 判断证明三角形的形状
（1）（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）2-1-c-n-j-y
（2）．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【规律方法】
1.用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法：
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；www-2-1-cnjy-com
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．【出处：21教育名师】
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．平面向量与三角函数的综合问题，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式然后求解．
【跟踪练习】（1）（2021·吉林延边朝鲜族自治州·延边二中）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
（2）（2022·河北高三专题练习）在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．既非等腰三角形又非直角三角形
（3）（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
考点二 向量与解析几何结合　
（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知 为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点 ，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）【版权所有：21教育】
A．36 B．60 C．72 D．108
【跟踪练习】如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为 ．21·世纪*教育网
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考点三 向量在物理中的应用　
（1）（2021·陕西高一期末）河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）www.21-cn-jy.com
A．10 B． C． D．12
（2）（2021·山东潍坊·）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）21教育名师原创作品
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A． B．当时，
C．当角越大时，用力越省 D．当时，
【规律方法】
平面向量在物理的 ( http: / / www.21cnjy.com )力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算，把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛.21*cnjy*com
【跟踪练习】（2021·全国高一课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（ ）
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1,2) D．(－2,2)
1.（2022·河北高三专题练习）中，点满足，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
2.（2021·江西九江市·九江一中高一期中）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·南岸区·重庆第二外国语学校）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
4.（2021·全国高一期中）已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
5.（2021·河北石家庄二中高一期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西， B．北偏西，
C．北偏东， D．北偏东，
6．（2021·黑龙江哈尔滨三中高一期中）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，则力、的合力对质点所做的功为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．（2021·山东潍坊·）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
8.（2021·广东深圳市·深圳第三高中高三月考）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
9．（2021·辽宁高三开学考试）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．非零向量、满足，则与的夹角为
B．若，则△为等腰三角形．
C．等边△的边长为，则
D．已知向量，且，则
10．（2021·江苏淮安市·高一期中）在水流速度为10的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 D．30
11．（2021·全国高一课时练习）( ( http: / / www.21cnjy.com )多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
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A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
12．（2021·广东高三月考）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
13．（2021·浙江金乡卫城中学高一月考）若点为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（ ）
A．直线必过边的中点
B．
C．若的面积为9，则的面积是4
D．
14.（2021·重庆垫江第五中学校高三月考）已知O为△内部一点，且，则△的面积为__________
15．（2021·山西临汾·高一月考）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．21cnjy.com
16.（2021·全国高三月考（理））在等边中，，点为的中点，交于点.
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（1）证明：点为的中点；
（2）若，求的面积.
17．（2021·江苏南京二十七中高一期中）在中，，，是的角平分线.
（1）若，求的长；
（2）若，且点P满足，求的最大值.
18.（2021·全国高三专题练习）在△ABC中，已知，是边上靠近点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得
19.（2021·福建泉州五中高一期中）在中，，对任意，有.
（1）求角；
（2）若，，且、相交于点.求证：.
20.（2022·全国高三专题练习）在中，设.
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若且，求的取值范围.
21.（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）家有重物，爸 妈 孩三人合力拉拍，用力依次为，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面.
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（1）求物重；
（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角.
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例1.1
例1.2
例1.3
例1.4
例2
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