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3.1.2　函数的表示法-学案
课标要求 素养要求
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.会求函数的解析式. 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养. 2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
2.分段函数
分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；
(2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集；
(3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(×)
提示　如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(×)
提示　有些函数是不能画出图象的，
如f(x)＝
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×)
提示　反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线.
(4)分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的.(×)
提示　图象可间断，也可连续.
(5)函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.(×)
提示　两函数的定义域不同，则图象不同.
2.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是(　　)
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
答案　C
解析　∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C.
3.已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
答案　1
解析　f(2)＝＝1.
4.由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于________.
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
答案　2
解析　由题中表格可知f(1)＝4，
所以f(f(1))＝f(4)＝2.
题型一　三种表示法的应用
【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解　(1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
思维升华　理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【训练1】　将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.
解　这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}.
①解析法：S＝＋.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}.
②列表法：
一段铁丝长x(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正方形的面积之和S(cm2)
③图象法：
题型二　求函数解析式
角度1　换元法(配凑法)、方程组法求函数解析式
【例2－1】　求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).
解　(1)法一(换元法)　令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
思维升华　1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
角度2　用待定系数法求函数解析式
【例2－2】　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
解　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f(x)＝x2－2x－1.
思维升华　待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
角度3　根据函数图象求解析式
【例2－3】　根据函数f(x)的图象写出它的解析式.
解　当0≤x≤1时，图象为经过原点的直线，设f(x)＝kx.将点(1，2)代入得k＝2，所以此时解析式为y＝2x.
当x∈(1，2)时f(x)＝2，
当x∈[2，＋∞)时f(x)＝3，
∴f(x)＝
思维升华　解决此类问题的关键
1.观察图象：(1)确定函数图象对应的函数类型；(2)确定图象上关键点的坐标.
2.由函数类型设出函数解析式，利用待定系数法求解.
【训练2】　(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x).
解　(1)法一(换元法)　令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f＝x2＋＝＋2，
令t＝x－，
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(3)∵f(x)＋2f＝x，
用代替x得f＋2f(x)＝，
消去f得f(x)＝－(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝－(x≠0).
题型三　分段函数求值问题
【例3】　已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.
解　由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
【迁移1】　(变换所求)例3条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2【迁移2】　(变换所求)例3的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.
思维升华　1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
【训练3】　(1)f(x)＝则f(5)的值是(　　)
A.24 B.21
C.18 D.16
(2)已知f(x)＝若f(a)≤－3，则实数a的取值范围为(　　)
A.[－3，－1]∪[1，3] B.(－3，－1]∪[1，3)
C.[－2，－1]∪[1，2] D.[－3，3]
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤0时，a2＋4a≤－3，∴a∈[－3，－1]；
当a>0时，a2－4a≤－3，∴a∈[1，3].
因此，a∈[－3，－1]∪[1，3].故选A.
题型四　分段函数的图象与应用
【例4】　(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________.
答案　f(x)＝
解析　当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1则解得此时f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示函数f(x)；
②画出函数f(x)的图象；
③写出函数f(x)的值域.
解　①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示.
③由②知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).
思维升华　1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤：
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型；
(2)设函数式：设出函数的解析式；
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式；
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.
【训练4】　已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域.
解　 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1].
1.函数三种表示法的优缺点
2.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.　　

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