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3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值-学案
第一课时　函数的单调性
课标要求 素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性. 2.在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.
自主梳理
1.增函数与减函数
(1)定义中x1，x2有三个特征：一是x1，x2同属于一个单调区间；二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；三是x1与x2有大小，通常规定x1(2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D I.
(3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减.　　　
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.
(2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接.　　　
3.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1提示　应该为 x1，x2∈D，当x1(2)若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.(√)
(3)函数f(x)＝在其定义域上为减函数.(×)
提示　f(x)＝在区间(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
(4)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(√)
(5)f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)2.(多选题)下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝x
C.f(x)＝－x2 D.f(x)＝1－x
答案　AD
解析　由函数的图象可知f(x)＝，f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选AD.
3.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________.
答案　(0，＋∞)
解析　因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0.
4.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________.
答案　[－2，－1]和[2，6]　[－1，2]
解析　由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
题型一　判断或证明函数的单调性
【例1】　已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明.
解　(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠±1}.
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1有f(x2)－f(x1)＝－＝
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1f(x2)，
因此，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
思维升华　利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.
【训练1】　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.
证明　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x10，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数.
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
题型二　求函数的单调区间
角度1　利用图象求函数的单调区间
【例2－1】　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间.
解　(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如图.
(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，
－2)，[0，2).
角度2　利用定义求函数的单调区间
【例2－2】　求函数f(x)＝(a>b>0)的单调区间.
解　已知函数的定义域是(－∞，－b)∪(－b，＋∞).
设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝－＝.
∵a>b>0，x2>x1>－b，
∴a－b>0，x2－x1>0，x2＋b>0，x1＋b>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－b，＋∞)上为减函数，即函数f(x)＝(a>b>0)的单调递减区间为
(－b，＋∞).
同理可得，f(x)在(－∞，－b)上为减函数.
综上所述，函数f(x)＝(a>b>0)的单调递减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞).
思维升华　1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.
【训练2】　(1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数.
答案　[－2，1]和[3，5]　[－5，－2]和[1，3]
解析　观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
解　y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).
题型三　函数单调性的简单应用
角度1　已知函数的单调性求参数
【例3－1】　若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　A
解析　要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a<.
角度2　利用单调性解不等式
【例3－2】　已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)解　由题意知解得0即所求a的取值范围是.
思维升华　1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
【训练3】　(1)已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)答案　(1)　(2)(－2，0)
解析　(1)由题意得解得－1≤x<.
(2)∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图.
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0).
1.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质.这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.
2.若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
3.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.　

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