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3.2.2　奇偶性
第一课时　函数的奇偶性-学案
课标要求 素养要求
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
自主梳理
1.偶函数的定义及图象特征
(1)偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数.
(2)偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.
2.奇函数的定义及图象特征
(1)奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数.
(2)奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.
(1)由函数的奇偶性的定义可知，奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性.
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(×)
提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)
提示　函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.
(3)奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.(√)
2.(多选题)下列函数具备奇偶性的是(　　)
A.y＝－x B.y＝－
C.y＝ D.y＝x2＋2
答案　ABD
解析　y＝－x，y＝－是奇函数，y＝x2＋2是偶函数，y＝既不是奇函数也不是偶函数，故选ABD.
3.f(x)＝x3＋的图象关于________对称.
答案　原点
解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.∴其图象关于原点对称.
4.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则f(－2)＝________.
答案　1
解析　∵当x>0时，f(x)＝－x＋1，
∴f(2)＝－2＋1＝－1.又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝1.
题型一　函数奇偶性的判定
角度1　一般函数奇偶性的判断
【例1－1】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
角度2　分段函数奇偶性的判定
【例1－2】　判断函数f(x)＝的奇偶性.
解　∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
角度3　抽象函数奇偶性的判断
【例1－3】　(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)若函数f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
证明　(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x),
∴f(－x)＝－f(x)，又∵f(x)定义域为R关于原点对称，∴f(x)是奇函数.
(2)令x1＝0，x2＝x，则f(x)＋f(－x)
＝2f(0)f(x)　①，
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)
＝2f(0)f(x)　②.
由①－②得f(－x)＝f(x).
又∵f(x)定义域为R关于原点对称，
∴f(x)是偶函数.
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
可见f(－x)的定义域也是(－l，l).
若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，
G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的.
又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(x)
＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，
即f(x)＋f(－x)是偶函数，
f(x)－f(－x)是奇函数.
角度4　含参函数奇偶性的判断
【例1－4】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)；
(2)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R).
解　(1)①当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，则函数f(x)为偶函数；
②当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝1，得f(1)＝1＋a，取x＝－1，得f(－1)＝1－a，则f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，
f(－1)≠f(1)，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述，当a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数.
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于坐标原点对称.
①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝
－f(x)，所以函数f(x)为奇函数；
②当a＝0时，函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0，此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
综上所述，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
思维升华　判断函数奇偶性的四种方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)验证法：求出函数的定义域，当定义域关于原点对称时，利用奇偶性所满足式子的等价形式，即判断f(x)±f(－x)是否为0或(f(x)≠0)是否为±1.
(4)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
【训练1】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
解　(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域为R，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，
∴当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x).故此函数是非奇非偶函数.
题型二　奇、偶函数的图象特征
【例2】　已知函数f(x)＝，令g(x)＝f.
(1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
(1)解　∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示，
(2)证明　∵g(x)＝f＝＝(x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＋＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
思维升华　(1)先判断函数的奇偶性；
(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
【训练2】　(1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为(　　)
A. 　　 B.－
C. 　　 D.－
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为(　　)
A.(2，5) B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0) D.(－2，0)∪(2，5)
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)奇函数的图象关于原点对称，因此，f(－2)＝－f(2)＝－.
(2)因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
题型三　利用奇偶性求函数值
【例3】　已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 020)＝3，则f(－2 020)＝(　　)
A.－7 B.－5
C.－3 D.3
答案　A
解析　∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3，
∴a×2 0203＋b×2 020＝5，
∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2＝－5－2＝－7.
思维升华　已知f(a)求f(－a)，判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系即可.
【训练3】　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>1时，f(x)＝－1，则f(－2)＝(　　)
A.－ B.－
C.0 D.
答案　B
解析　因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－.
1.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x) f(－x) f(x)＝0 ＝±1(f(x)≠0).
2.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.　

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