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第二课时　函数奇偶性的应用-学案
课标要求 素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用. 2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思想方法，提升逻辑推理素养. 2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.
自主梳理
1.函数的奇偶性与单调性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内：
(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
3.函数的对称轴与对称中心(拓展)
(1)若函数f(x)的定义域为D，对 x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.
(2)若函数f(x)的定义域为D，对 x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)
(2)若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称.(√)
(3)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(√)
2.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则(　　)
A.f(3)C.f(3)答案　C
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，
∴f(3)3.已知f(x) ＝是奇函数，则a＝________.
答案　0
解析　由f(0)＝a＝0，得a＝0.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________.
答案　x＋x2
解析　设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2.
又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.
题型一　利用奇偶性求函数解析式
角度1　求对称区间上的解析式
【例1－1】　(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________.
答案　(1)x(x＋1)　(2)
解析　(1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
(2)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1，
即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上，f(x)的解析式为f(x)＝
角度2　构造方程组求解析式
【例1－2】　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.
思维升华　已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
【训练1】　(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　(1)设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型二　函数奇偶性的应用
角度1　利用函数的单调性与奇偶性比较大小
【例2－1】　若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A.fC.f(2)答案　B
解析　∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1.
∴f(2)思维升华　比较大小的方法：
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
角度2　利用奇偶性、单调性解不等式
【例2－2】　(1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)(2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)解　(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上是减函数.
所以不等式f(1－m)解得－2≤m<，即m的取值范围为.
(2)∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
∴g(1－m)≤g(m) g(|1－m|)－1≤m<.
即m的取值范围为.
思维升华　利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)角度3　利用函数奇偶性求参数(值)
【例2－3】　(1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
答案　(1)4　(2)0
解析　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，
即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，
整理得，2a＝8，∴a＝4.
(2)由题意知则
所以
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
思维升华　利用函数奇偶性求参数值的方法
(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决.
(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.
(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.
【训练2】　(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，4] D.[1，3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________.
答案　(1)D　(2)(－4，－2)∪(0，2)
解析　(1)∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.
∵－1≤f(x－2)≤1，
∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，
补全f(x)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：
当－40，g(x)<0，此时h(x)<0；
当00，此时h(x)<0，
∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).
故答案为(－4，－2)∪(0，2).
题型三　证明函数图象的对称性(拓展)
【例3】　求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图象关于x＝－1对称.
证明　任取x∈R，
∵f(－1＋x)＝－(－1＋x)2－2(－1＋x)＋1＝－x2＋2，
f(－1－x)＝－(－1－x)2－2(－1－x)＋1＝－x2＋2，
∴f(－1＋x)＝f(－1－x)，
∴f(x)的图象关于x＝－1对称.
思维升华　(1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).
(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
【训练3】　证明函数f(x)＝的图象关于点(－1，1)对称.
证明　函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋
＝＋＝2，
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的图象关于点(－1，1)对称.
1.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
2.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
3.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.
4.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.

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