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3.3　幂函数-学案
课标要求 素养要求
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
自主梳理
1.幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数.形如y＝(2x)α；y＝2x3，y＝x2＋b等函数都不是幂函数.　　　
2.幂函数的图象和性质
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1，1)
对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝－x2是幂函数.(×)
提示　根据幂函数的定义.
(2)幂函数y＝x2是偶函数.(√)
(3)幂函数y＝x－1是增函数.(×)
提示　y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
(4)幂函数都过点(0，0)，(1，1).(×)
提示　只有α>0时过(0，0)，(1，1)点.
2.(多选题)下列函数中是幂函数的有(　　)
A.y＝2x－2 B.y＝x2＋2x
C.y＝x－ D.y＝x4
答案　CD
解析　A、B中的函数不符合幂函数的定义，选CD.
3.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.
答案　9
解析　由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.
4.3.17－1与3.71－1的大小关系为___________________________________________.
答案　3.17－1>3.71－1
解析　因为函数y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，且3.17<3.71，
所以3.17－1>3.71－1.
题型一　与幂函数的概念有关的问题
【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
答案　(1)B　(2)5或－1
解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，
解得m＝5或m＝－1.
思维升华　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
【训练1】　(1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)
A.2 B.1
C. D.0
答案　(1)16　(2)A
解析　(1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，
∴4α＝16，
解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
题型二　幂函数的图象及其应用
【例2】　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是(　　)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
(2)函数y＝xα是幂函数，而y＝αx是一次函数，选项A，直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1；选项B，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x；选项C，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2；选项D，直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数y＝x3，故C正确.
思维升华　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：
①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.
【训练2】　(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A.－1C.－11 D.n<－1，m>1
(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0(2)当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，
y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以A，D项均不正确；对于B，C项，若a>0，则y＝ax－是增函数，B项不正确，C项正确，故选C.
题型三　利用幂函数的性质比较大小
【例3】　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；
(2)与.
解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，所以>.
思维升华　比较幂值大小的两种基本方法
【训练3】　比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)－3.143与－π3.
解　(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，
∴>.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
题型四　幂函数性质的综合应用
【例4】　已知函数f(x)＝x(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解　(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增.
(2)∵该函数图象过点(2，)，
∴2＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*).
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
思维升华　解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
【训练4】　已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解　因为m∈{x|－2当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
1.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.
2.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.　

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