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4.1　指　数
第一课时　n次方根-学案
课标要求 素养要求
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 理解n次方根及n次根式的概念，正确运用根式运算性质化简求值，发展数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)当a≥0时，表示一个数.(√)
(2)实数a的n次方根有且只有一个.(×)
提示　当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
(3)当n为偶数，a≥0时，≥0.(√)
(4)＝()n.(×)
提示　当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
2.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.若a<0，则＝－a
B.若＝a，则a≥0
C.＝a2b4
D.＝±3
答案　ABC
解析　＝3，故D错误，其余都正确.
3.(多选题)设m是实数，则下列式子一定有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　ABD
解析　当m<0时，无意义，故选ABD.
4.化简－得________.
答案　6或－2x
解析　原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；
当x<－3时，原式＝－2x.
题型一　由根式的意义求范围
【例1】　求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围.
解　＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3，3].
即实数a的取值范围是[－3，3].
思维升华　对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；
(2)只要有意义，必不为负.
【训练1】　若＝a－1，求a的取值范围.
解　∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.即a的取值范围是[1，＋∞).
题型二　利用根式的性质化简或求值
【例2】　化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解　(1)＝|3－π|＝π－3.
(2)∵a>b，∴a－b>0，∴＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
思维升华　n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
【训练2】　求下列各式的值：
(1)；(2)(a≤1)；
(3)＋.
解　(1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a(a≤1).
(3)＋＝a＋|1－a|＝
题型三　有限制条件的根式的化简
【例3】　设－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
【迁移】　例3中，若将“－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
思维升华　当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.
【训练3】　已知x∈[1，2]，化简()4＋＝________.
答案　1
解析　∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.
1.掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*时，＝a，n为偶数且n∈N*时，＝|a|＝
2.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.　

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