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4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念-学案
课标要求 素养要求
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念. 2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用. 1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养. 2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
自主梳理
1.指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.　　　
2.两类指数模型
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型.
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)y＝xx(x>0)是指数函数.(×)
提示　指数函数的底数是大于0且不等于1的常数，故(1)错.
(2)y＝是指数衰减型函数模型.(√)
(3)若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.(×)
提示　当02.下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝(－3)x
C.y＝·4x D.y＝
答案　D
解析　由指数函数的定义可知只有y＝是指数函数.
3.若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________.
答案　(1，2)∪(2，＋∞)
解析　由a－1>0且a－1≠1得a>1且a≠2.
4.某地2020年GDP现价总量为a亿元，若预计以后每年比上一年增长11%，那么2025年GDP现价总量约为________亿元.(参考数据1.114≈1.52，1.115≈1.69)
答案　1.69a
解析　据题意2025年GDP现价总量为a(1＋11%)5＝a×1.115≈1.69a.
题型一　指数函数的概念
【例1】　(1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
.0 B.1
C.2 D.4
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)依题意得2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.
思维升华　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【训练1】　(1)(多选题)下列函数是指数函数的是(　　)
A.y＝()x B.y＝x
C.y＝－3x D.y＝(6a－3)x
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.
答案　(1)AD　(2)2
解析　(1)根据指数函数的定义知y＝()x，y＝(6a－3)x是指数函数.故选AD.
(2)由指数函数的定义知由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
题型二　求指数函数的解析式或函数值
【例2】　(1)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
答案　125　
解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式.
解　当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，令f(x)＝k(k≠0)，
又f(0)＝3，∴k＝3，∴f(x)＝3·.
思维升华　(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
【训练2】　(1)已知函数f(x)是指数函数，且满足f(2)＝81，则f＝(　　)
A.± B.±3
C. D.3
答案　D
解析　由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝81 ，故a＝9，f(x)＝9x，f＝9＝3.
(2)已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，求f(x)的解析式、f的值.
解　因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，所以2a2－3a＋2＝1，a>0，且a≠1.由2a2－3a＋2＝1，解得a＝1(舍去)或a＝.所以f(x)＝.所以f＝＝.
题型三　指数增长型函数与指数衰减型函数的实际应用
【例3】　(1)某市2018年底人口为20万，人均住房面积为8 m2，计划2022年底人均住房达到10 m2，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要增加住房________万m2 (精确到整数，注：1.014≈1.04).
(2)一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来2倍，那么开机后________ min，该病毒占据内存32 MB(1 MB＝1×210 KB).
答案　(1)12　(2)42
解析　(1)设这个城市平均每年要新增住房x万m2.根据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10，解得x＝50×1.014－40≈12.
(2)由题意知计算机病毒占据内存情况如下：1个3 min后为2×2＝22(KB)；2个
3 min后为2×2×2＝23(KB)；3个3min后为23×2＝24(KB)；…所以第x个3 min后为2x＋1KB.又因为32×210＝215(KB).令215＝2x＋1，解得x＝14，所以14×3＝42(min).
思维升华　解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括数学问题，最后求解数学问题即可.
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
【训练3】　春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
答案　19
解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.　

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