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4.2.2　指数函数的图象和性质
第一课时　指数函数的图象和性质(一)-学案
课标要求 素养要求
1.掌握指数函数的图象及简单性质. 2.掌握利用指数函数的图象和性质求函数的定义域和值域. 1.通过借助计算工具画出简单指数函数的图象，发展直观想象素养. 2.通过指数性质的应用提升数学运算素养.
自主梳理
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
(1)当a>1时，x→－∞，y→0；当0(2)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象画出另一个函数的图象.
(3)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若函数y＝(a－3)x是增函数，则a>4.(√)
(2)函数f(x)＝a|x－2|是偶函数.(×)
提示　函数f(x)＝a|x－2|的图象是由y＝a|x|的图象向右平移2个单位得到的，其图象不关于y轴对称，故(2)错.
(3)函数f(x)＝2x的图象与g(x)＝－2x的图象关于x轴对称.(√)
2.函数y＝2－x的图象是(　　)
答案　B
解析　y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B.
3.指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.
答案　R　(0，＋∞)
解析　由指数函数y＝2x的图象和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞).
4.函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为________.
答案　(0，1)
解析　由题意知当x≤0时，ax－1≥0，那么ax≥1，所以0题型一　与指数函数有关的定义域和值域问题
【例1】　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝3；(2)y＝2；(3)y＝.
解　(1)∵y＝3，∴x2－2x≥0，
∴x≤0或x≥2.∴定义域为{x|x≤0或x≥2}.
由于≥0，∴3≥30＝1，
即y≥1，∴值域为[1，＋∞).
(2)∵y＝2，∴x－1≠0，∴x≠1，∴定义域为{x|x≠1}.
由于＝＝1＋≠1，
∴2≠2，且2>0，
即y>0且y≠2，∴值域为(0，2)∪(2，＋∞).
(3)∵y＝，∴2x－1≥0，2x≥1＝20，
∴x≥0.∴该函数的定义域为[0，＋∞).
由2x－1≥0，得y＝≥0，即值域为[0，＋∞).
思维升华　1.y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.
2.y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法
(1)函数y＝f(ax)(a>0且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(x)的定义域中；
(2)求函数y＝f(ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f(x)的值域.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【训练1】　(多选题)下列函数的值域不是(0，＋∞)的有(　　)
A.y＝4 B.y＝
C.y＝ D.y＝
答案　ABD
解析　对于A，4的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；对于B，y＝的值域是[0，＋∞)；对于C，y＝的值域是(0，＋∞)；对于D，y＝的值域是[0，1).故选ABD.
题型二　指数函数的图象
【例2】　(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
答案　(－1，－1)
解析　因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).
(2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象.
解　y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象，如图所示.
思维升华　处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.
【训练2】　(1)函数y＝2|x|的图象是(　　)
(2)函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)y＝2|x|＝故选B.
(2)由题意知a>0且a≠1，则函数y＝x＋a单调递增.当01时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D.
题型三　指数函数图象的应用
【例3】　已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1，1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪[2，＋∞) B.∪(1，4]
C.∪(1，2] D.∪[4，＋∞)
答案　C
解析　利用数形结合求解，题中f(x)<，
即x2－在同一直角坐标系中作出函数g(x)＝x2－，
φ(x)＝ax的图象，如图所示，
当a>1时，g(－1)＝，依题意，φ(－1)＝a－1≥g(－1)＝，所以1当0即a≥，所以≤a<1.故选C.
思维升华　图象法解方程和不等式问题
利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数可确定方程f(x)＝g(x)的解的个数，观察函数y＝f(x)的图象与x轴的交点情况，可以确定不等式f(x)>0或f(x)<0的解集等.
【训练3】　(1)指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx在同一坐标系中的图象如图，根据图象可得a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A.aC.1(2)若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)(－∞，0]
解析　(1)如图，直线x＝1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是(1，b)，(1，a)，(1，d)，(1，c)，故有0(2)画出y＝2x的图象，沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，如图.由图知y＝|2x－1|在
(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0].
1.对于形如y＝af(x)与y＝f(ax)的函数，求其定义域和值域要利用换元的思想方法，结合函数的单调性求解.
2.作指数函数的图象，要抓住其单调性，过定点等特征，并结合图象的平移、翻折等变换规则进行.　　

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