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4.3.2　对数的运算-学案
课标要求 素养要求
1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算. 2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 通过本节课的学习，掌握对数的运算性质及换底公式，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.
自主梳理
1.对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0).
(1)逆向应用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简.
(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数式都有意义时，等式才成立，如log2[(－2)×(－3)]是存在的，但log2(－2)与log2(－3)是不存在的.
(3)对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的形式，即loga(M1·M2·M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(a>0且a≠1，Mn>0，n∈N*).　　　
2.换底公式
对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)log2x2＝2log2x.(×)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(×)
提示　(1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N).(×)
提示　公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).
(4)log52＝.(√)
2.lg －2lg ＋lg 等于(　　)
A.lg 2 B.lg 3
C.lg 4 D.lg 5
答案　A
解析　lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A.
3.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
答案　A
解析　原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
4.log35·log56·log69＝________.
答案　2
解析　原式＝··＝＝＝2.
题型一　对数运算性质的应用
【例1】　(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
思维升华　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【训练1】　计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－
2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
题型二　换底公式的应用
角度1　代数式的恒等变形
【例2－1】　化简loga.
解　∵>0且x2>0，>0，∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
角度2　用代数式表示对数
【例2－2】　已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
解　法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝＝.
法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝＝.
法三　∵log189＝a，18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
思维升华　换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
【训练2】　(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
解　(1)由log1227＝a，得＝a，∴lg 2＝lg 3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一　原式＝·
＝·
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
法二　原式＝·
＝
＝＝13.
法三　原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝·(log52＋log52＋log52)
＝3×log25·log52＝3×＝13.
题型三　对数与指数的综合应用
【例3】　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解　(1)法一　由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二　由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
思维升华　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
【训练3】　已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.
答案　
解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，
故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝.
题型四　对数运算的实际应用
【例4】　2019年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2019年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年).
解　设经过x年后国民生产总值为2019年的2倍.
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年后国民生产总值是2019年的2倍.
思维升华　解决对数应用题的一般步骤
【训练4】　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s).
解　因为v＝ln
＝2 000·ln，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
1.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).　　　　　　　　　　　　

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