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第二课时　对数函数的图象和性质(二)-学案
课标要求 素养要求
1.进一步理解对数函数的图象和性质. 2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题. 通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决求最值、解不等式等综合问题，发展数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
2.logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.
3.反函数
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数.(×)
提示　函数y＝log2x2的定义域为{x|x≠0}.
(2)y＝logx2在(0，＋∞)上为增函数.(×)
提示　函数y＝logx2在(0，＋∞)为减函数.
(3)ln x<1的解集为(－∞，e).(×)
提示　由ln x<1，解得0(4)y＝ax与x＝logay的图象相同(a>0且a≠1).(√)
2.不等式log(2x＋3)A.(－∞，3) B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可得解得3.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是(　　)
A.y＝log(x＋1) B.y＝log2
C.y＝log2 D.y＝log(x2－4x＋5)
答案　D
解析　对于选项A，y＝logt为减函数，t＝x＋1为增函数，所以y＝log(x＋1)为减函数；对于选项B，函数y＝log2在(0，1)上无定义；对于选项C，y＝log2t为增函数，t＝为减函数，所以y＝log2 为减函数；对于选项D，y＝logt为减函数，t＝x2－4x＋5在(0，2)上为减函数，所以y＝log(x2－4x＋5)在(0，2)上为增函数.
4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，)，则a＝________.
答案　
解析　因点(，)在y＝f(x)的图象上，所以点(，)在y＝ax的图象上，则有＝a，又因a>0，所以a2＝2，a＝.
题型一　对数型函数的值域(最值)
【例1】　求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域.
解　f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2].
设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
思维升华　利用数学抽象把原函数看成关于log2x的一个二次函数，再通过数学运算计算出二次函数的最值.
【训练1】　已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)，
(1)求函数f(x)的定义域和值域.
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值.
解　(1)由得－3所以函数的定义域为{x|－3f(x)＝loga(1－x)(x＋3)，
设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
所以t≤4，又t>0，则0当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}，
当0(2)由题设及(1)知当0题型二　解对数不等式
【例2】　若－10，且a≠1)，求实数a的取值范围.
解　∵－1∴loga当a>1时，<；
当0>a，则0故实数a的取值范围是∪.
思维升华　两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0【训练2】　已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
题型三　对数函数性质的综合应用
角度1　求单调区间
【例3－1】　求函数y＝log(－x2＋2x＋1)的值域和单调区间.
解　设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0y＝log2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞).
又函数log(－x2＋2x＋1)的定义域为－x2＋2x＋1>0，
由二次函数的图象知1－∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上是增加的，而在(1，1＋)上是减少的，而y＝logt为减函数.
∴函数y＝log(－x2＋2x＋1)的增区间为(1，1＋)，减区间为(1－，1).
角度2　已知复合函数的单调性求参数范围
【例3－2】　已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围.
解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，∴y＝logx是减函数，而已知复合函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上是减少的，且g(x)>0在x∈(－∞，)恒成立，即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)].
角度3　对数函数性质的综合应用
【例3－3】　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
解　(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0思维升华　形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.
【训练3】　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间[，2]上的值域.
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上递增.
(3)因为f(x)在区间[，2]上递增，
又f()＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415].
1.求与对数有关的复合函数的最值或值域问题，除了注意应用对数函数的单调性外，还要善于把函数转化为二次函数等其他基本初等函数的问题.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.　　

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