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5.1.2　弧度制-学案
课标要求 素养要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
自主梳理
1.度量角的两种单位制
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度 的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是一个正数.
(2)负角：负角的弧度数是一个负数.
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z).　　　
3.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π__rad 2π rad＝360°
180°＝π__rad π rad＝180°
1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
4.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝α·R
扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2
(1)在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”.
(2)在运用公式时，根据已知条件 ，选择合适的公式代入.
(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式相似，可类比记忆.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)
提示　1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)
(3)160°化为弧度制是π rad.(√)
(4)1 rad的角比1°的角要大.(√)
(5)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).(×)
提示　扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.
2.(多选题)下列命题是真命题的是(　　)
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　ABC
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D是假命题，A，B，C是真命题.
3.已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为________.
答案　
解析　由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝.
4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.
答案　一
解析　2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
题型一　角度与弧度的互化及应用
【例1】　将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.
解　(1)20°＝20×＝；
(2)－800°＝－800×＝－π；
(3)＝×°＝105°；
(4)－π＝－π×°＝－144°.
思维升华　角度与弧度互化的方法
【训练1】　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
解　(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－×°＝－75°.
题型二　用弧度制表示角的集合
【例2】　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为.
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是
.
思维升华　根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
(4)按逆时针方向书写.
【训练2】　已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
解　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限角.
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
题型三　弧长公式与面积公式的应用
【例3】　如图所示，十字形公路的交叉处围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？
解　如图所示，∵∠AOB＝60°＝，的长度为100π m，∴OA＝＝300(m).
根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.
则∠O1OC＝30°＝，
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
又O1C＝O1O·sin ，
故O1C＝(300－O1C)×，
解得O1C＝100 m.
这时⊙O1的面积为π×1002＝10 000 π(m2).
思维升华　扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
(1)看清角的度量制，选用相应的公式；
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
【训练3】　已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2 cm，此时，θ＝＝ rad.
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－＋(0当r＝时，S取得最大值，
这时l＝10－2×＝5，∴θ＝＝＝2 rad.
1.角度制与弧度制互化的原则是应用180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算.
2.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度，根据具体的条件选用公式，涉及最值问题往往转化为二次函数的最值问题.　　

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