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5.2.1　三角函数的概念
第一课时　三角函数的定义-学案
课标要求 素养要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 2.能利用定义解决相关问题. 通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养.
自主梳理
1.任意角的三角函数的定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(1)在任意角的三角函数的定义中，α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集.
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.　　　
2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R；
(2)余弦函数y＝cos x的定义域为R；
(3)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(×)
提示　角的三角函数值与点在终边上的位置无关.
(2)若角α终边过点(1，3)，则sin α＝.(√)
(3)终边在x轴上的角的正切值不存在.(×)
提示　终边在y轴上的角的正切值不存在.
2.(多选题)若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子有意义的是(　　)
A.tan α B.sin α
C.cos α D.sin α＋cos α
答案　BCD
解析　由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝，所以tan α无意义.
3.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.
答案　－
解析　易知r＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，故sin α＋cos α＝－.
4.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝________.
答案　－
解析　∵cos α＝＝，∴＝5.∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－.
题型一　单位圆法求三角函数值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】　在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α.
解　由题意，设点A的坐标为，所以x2＋＝1，
解得x＝或－.
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；
当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－.
思维升华　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解.
【训练1】　(1)已知角α的终边经过点，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
答案　－　－　
解析　因为＋＝1，
所以点在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
(2)利用定义求的正弦、余弦和正切值.
解　如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，
在Rt△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，
则|PB|＝，|OB|＝，则P.
所以sin ＝，cos ＝－，tan ＝＝－.
题型二　坐标法求三角函数值
【例2】　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解　r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
思维升华　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【训练2】　已知角α的终边经过点P(5m，12)，且cos α＝－，则m＝________.
答案　－1
解析　r＝＝，cos α＝＝－<0，∴解得m＝－1.
题型三　三角函数概念的综合应用
【例3】　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
解　由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.综上所述，
10sin α＋＝0.
思维升华　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
【训练3】　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值.
解　因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝－，
tan α＝＝.
1.在三角函数的定义中，角、实数与三角函数的关系如下：
2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.　

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