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5.2.2　同角三角函数的基本关系-学案
课标要求 素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.同角三角函数的基本关系
描述方式 基本关系　　　 基本关系式 语言描述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 Tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1
(2)tan α＝
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)sin2α＋cos2β＝1.(×)
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
(2)sin2＋cos2＝1.(√)
(3)对任意的角α，都有tan α＝成立.(×)
提示　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
(4)若sin α＝，则cos α＝.(×)
提示　cos α＝±.
2.(多选题)下列四个结论中可能成立的是(　　)
A.sin α＝且cos α＝－
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α是第二象限角时，tan α＝－
答案　AB
解析　选项A，B中sin α，cos α都满足sin2α＋cos2α＝1，可能成立；C中当
tan α＝1且cos α＝－1时得sin α＝－1，不满足sin2α＋cos2α＝1，故不成立；D中tan α＝.故选AB.
3.若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　B
解析　由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.
4.若＝－1，则tan α＝________.
答案　2
解析　原式可化为＝－1.则tan α＝2.
题型一　同角三角函数的基本关系及简单应用
【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
解　∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角.
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
思维升华　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
【训练1】　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
题型二　三角函数式的化简
【例2】　化简：　
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
解　(1)－
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
思维升华　三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【训练2】　化简＋(1＋tan2α)cos2α.
解　原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α＝1＋1＝2.
题型三　三角函数式的求值
角度1　弦切互化求值
【例3－1】　已知tan α＝2.
(1)求的值；
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
解　(1)法一(代入法)　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α.
∴＝＝－.
法二(弦化切)　∵tan α＝2.
∴＝＝＝＝－.
(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝
＝＝＝.
思维升华　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值.
角度2　sin α±cos α型求值问题
【例3－2】　已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.
解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知，θ为第二象限角，所以sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ＝＝＝.
思维升华　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练3】　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝________.
答案　(1)－　(2)或－
解析　(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sin αcos α＝＝＝，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－.
题型四　三角恒等式的证明
角度1　一般恒等式的证明
【例4－1】　求证：＝.
证明　法一　左边＝
＝＝
＝＝右边.所以等式成立.
法二　右边＝＝
＝＝＝左边.
所以等式成立.
思维升华　证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
角度2　条件恒等式的证明
【例4－2】　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
所以＋1＝2，
通分可得＝，
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
思维升华　含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
【训练4】　(1)求证：＝；
(2)已知＋＝1，求证＋＝1.
证明　(1)∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
(2)设sin2A＝m(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
由＋＝1，得＋＝1，
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.
1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.
2.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.　

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