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5.3　诱导公式 第二课时　公式五、六-学案
课标要求 素养要求
1.在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导. 2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主梳理
1.诱导公式五、六
2.公式五和公式六的语言概括
(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值.
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.
(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
公式五、六与公式一～四的区别在于函数名要改变.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)cos ＝cos α.(×)
提示　cos ＝cos ＝sin α.
(2)sin＝－cos α.(×)
提示　sin＝cos α.
(3)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(√)
(4)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(√)
2.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝(　　)
A.a B.－a
C.a2 D.
答案　A
解析　cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a，故选A.
3.已知sin＝，那么cos α＝________.
答案　
解析　sin＝sin＝cos α＝.
4.cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.
答案　44.5
解析　cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝
cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋sin21°
题型一　利用诱导公式化简、求值
【例1】　(1)已知f(α)＝.
①化简f(α)；
②若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值.
(2)已知cos＝，≤α≤，求sin的值.
解　(1)①f(α)＝＝－cos α.
②因为α是第三象限角，且cos＝，
所以sin α＝－，cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
(2)∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
思维升华　利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其中特别注意函数名称和符号的确定.其步骤：去负—脱周—化锐，即
【训练1】　已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；(2)sin.
解　(1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
题型二　利用诱导公式证明恒等式
【例2】　求证：
＝－tan α.
证明　左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边.
∴原等式成立.
思维升华　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【训练2】　求证：＝.
证明　左边＝
＝
＝＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原等式成立.
题型三　诱导公式的综合应用
【例3】　已知cos α＝－，且α为第三象限角.
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值.
解　(1)因为α为第三象限角，
所以sin α＝－＝－.
(2)f(α)＝＝tan α·sin α
＝·sin α＝＝×＝－.
【迁移】　本例条件不变，
求f(α)＝的值.
解　f(α)＝＝sin α＝－.
思维升华　用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.
【训练3】　若α的终边与单位圆交于点P，且α为第二象限角，试求的值.
解　由题意知m2＋＝1，
解得m2＝，
因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－，
所以sin α＝，cos α＝－.
原式＝
＝＝－.
1.诱导公式可以统一概括为“k·±α（k∈Z）”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.即“奇变偶不变，符号看象限”.

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