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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第二课时　单调性与最值-学案
课标要求 素养要求
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间. 借助y＝sin x与y＝cos x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ]上单调递增，在[＋2kπ，＋2kπ]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减
最值 x＝＋2kπ时，ymax＝1；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 x＝2kπ时，ymax＝1；x＝π＋2kπ时，ymin＝－1
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(×)
提示　正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.
(2)存在实数x，使得cos x＝.(×)
提示　余弦函数最大值为1.
(3)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.(√)
2.函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________.
答案　－＋2kπ(k∈Z)
解析　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3.
3.函数f(x)＝cos的单调递减区间是________.
答案　(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
4.sin 250°与sin 260°的大小关系为________.
答案　sin 250°>sin 260°
解析　∵sin 250°＝sin (180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin (180°＋80°)＝
－sin 80°，而sin 70°－sin 80°.∴sin 250°>sin 260°.
题型一　正弦、余弦函数的单调性
【例1】　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间.
解　y＝1＋sin＝－sin＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z).
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z).
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为
，，.
思维升华　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
【训练1】　求函数f(x)＝2cos的单调递增区间.
解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
题型二　利用正弦、余弦函数的单调性比较大小
【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)sin 与cos ；
(2)cos与cos.
解　(1)sin ＝sin＝－sin ，
cos ＝cos＝－cos ＝－sin ，
∵0<<<，且y＝sin x在上是增函数，
∴sin 从而－sin >－sin ，即sin >cos .
(2)cos＝cos π＝cos＝cos π，
cos＝cos π＝cos＝cos .
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π思维升华　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
【训练2】　比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)cos 与sin .
解　(1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin(2)cos ＝cos＝cos ，
sin ＝sin＝sin
＝sin＝cos ，
∵0<<<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos >cos ，即cos >sin .
题型三　正弦、余弦函数的最值(值域)问题
角度1　正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例3－1】　求y＝cos，x∈的值域.
解　由y＝cos，x∈可得x＋∈，
因为函数y＝cos x在区间上单调递减，
cos ＝，cos ＝－，所以函数的值域为.
角度2　形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C型的最值(值域)问题
【例3－2】　求y＝cos2x－4cos x＋5的值域.
解　y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10].
思维升华　求三角函数值域或最值的常用方法
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.
【训练3】　若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝
－4acos bx的最值和最小正周期.
解　∵y＝a－bcos x(b>0)，
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由解得
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
所以函数y＝－4acos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω<0，先利用诱导公式
把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.

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