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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第一课时　周期性与奇偶性-学案
课标要求 素养要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的周期. 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索y＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
自主梳理
1.周期函数
条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
2.最小正周期
条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
(1)周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期.
(2)并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，而最小的正数是不存在的，故常数函数没有最小正周期.　　　
3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R).(×)
提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.
(2)函数f(x)＝sin 2x是奇函数.(√)
(3)函数f(x)＝sin是偶函数.(√)
(4)y＝sin x与y＝cos x既是中心对称图形又是轴对称图形.(√)
2.(多选题)下列函数中是周期为2π的偶函数的是(　　)
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin D.y＝cos
答案　BC
解析　由于y＝cos＝－sin x，所以A，D中的函数都是奇函数；y＝sin＝cos x符合题意，故选BC.
3.函数f(x)＝|sin x|是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
答案　B
解析　f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数.
4.函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期是________.
答案　π
解析　由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)得f(x)的最小正周期为π.
题型一　三角函数的周期
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝2sin，x∈R；
(2)y＝1－2cos，x∈R；
(3)y＝|sin x|，x∈R.
解　(1)∵2sin
＝2sin＝2sin，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝2sin，x∈R的周期是4π.
(2)∵1－2cos＝1－2cos
＝1－2cos，
∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝1－2cos，x∈R的周期是4.
(3)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
思维升华　求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.
【训练1】　求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝.
解　(1)∵sin＝sin＝sin.
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋，函数y＝sin，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin，x∈R的周期是.
(2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，而函数y＝|cos|的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝.
题型二　三角函数的奇偶性
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
解　(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(2)由得－1解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.
思维升华　判断函数奇偶性的两个关键点
(1)看函数的定义域是否关于原点对称；
(2)看f(－x)与f(x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
【训练2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝＋.
解　(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数.
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.
题型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A.y＝cos|2x| B.y＝|sin x|
C.y＝sin D.y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
【迁移1】　若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解　f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.
【迁移2】　若将例3(2)题条件不变，求f＋f的值.
解　f＝f＝f＝sin＝，
f＝f＝f＝f＝f＝sin＝，
所以f＋f＝＋＝.
思维升华　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
【训练3】　设f(x)是周期为2的奇函数，当0答案　sin(x－2)＋x－2
解析　当1因为当0所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
1.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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